Rechenübung am 3/4. Mai 2005

Relativistisch oder nichtrelativistisch, das ist hier die Frage.

Aufgabe 1:
Welche de-Broglie Wellenlänge hat ein Proton, dessen kinetische Energie gleich der Ruheenergie eines Elektrons ist ?
Aufgabe 2:
Ein Elektron bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld der Feldtärke $B = 0,005 \; T$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r = 0,5 \; cm$. Welche de-Broglie Wellenlänge hat das Elektron$\;$?
Aufgabe 3:
Welche kinetische Energie hat ein Elektron, dessen de-Broglie Wellenlänge gleich der Compton- Wellenlänge ist ?
Aufgabe 4:
Berechnen Sie die de-Broglie Wellenlängen für folgende Teilchen:
a) Staubkorn mit $1 \; \mu m$ Durchmesser, $10^{-15} \; kg$ Masse und $1 \; mm/s$ Geschwindigkeit.
b) thermisches Neutron mit Ruheenergie $0,94 \; GeV$ bei einer Temperatur von $300 \; K$.
c) Elektron mit einer kinetischen Energie von $100 \; eV$.
d) Elektron mit Gesamtenergie von $1 \; GeV$.
e) Proton mit kinetischer Energie von $20 \; MeV$.

Lösungen

Aufgabe 1
Die Ruhemasse des Elektrons ist klein gegenüber der Ruhemasse des Protons. Daher kann nichtrelativistisch gerechnet werden.

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2 m_{p} c^{2} E_{k}}... ...c}{\sqrt{2 m_{p} c^{2} m_{e} c^{2}}} = 3,8 \cdot 10^{-4} \; A.$$

Aufgabe 2:
Aus Lorentzkraft und Zentrifugalkraft berechnen wir die Geschwindgkeit

$$e v B = \frac{m_{e} v^{2}}{r}$$

$$v = \frac{r e B}{m_{e}} = 4 \cdot 10^{6} \; m/s.$$

( $m_{e} = 0,9 \cdot 10^{-30} \;kg$, $e = 1,602 \cdot 10^{-19} \; A \;s$). Das ist also $1 \%$ der Lichtgeschwindigkeit, also geht die Rechnung wiederum nichtrelativistisch.

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_{e} v} = \frac{h}{r e B}.$$

Mit $h = 6,626 \cdot 10^{-34} \; J \; s$ folgt $\lambda = 1,7 \; A$.
Aufgabe 3:
Da $p c = hc/\lambda_{C} = 516 \cdot 10^{3} \; eV$ praktisch gleich der Ruhemasse des Elektrons ist, muss relativistisch gerechnet werden. Mit $\lambda_{C} = h/m_{e} c$ gilt

$$E_{k} = \sqrt{\frac{h^{2}c^{2}}{\lambda_{C}^{2}} + m_{e}^{2}c^{4}} - m_{e}c^{2} = (\sqrt{2} - 1) m_{e} c^{2} = 210 \; keV.$$

Aufgabe 4:
a) Offensichtlich nichtrelativistisch. Mit $p = 10^{-13} \; kg \; m/s$ folgt

$$\lambda = \frac{h}{p} = 6,6 \cdot 10^{-6} \; A.$$

b) Auch hier natürlich nichtrelativistisch. Aus $E_{k} = p^{2}/2m = (3/2) k T$ folgt $p = \sqrt{3 m k T}$. Daher

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{3 mc^{2} k T}} = 1,45 \; A.$$

c) Auch hier nichtrelativistisch. Mit $p = \sqrt{2 m E_{k}}$ folgt

$$\lambda = \frac{hc}{\sqrt{2 m c^{2} E_{k}}} = 1,24 \; A.$$

d) Die Gesamtenergie ist sehr viel grösser als die Ruheenergie, hier muss relativistisch gerechnet werden, in diesem Fall kann man die Ruhemasse sogar vernachlässigen.

$$E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4} \approx p^{2} c^{2}$$

und daher

$$\lambda = \frac{hc}{p c} = \frac{hc}{E} = 1,24 \cdot 10^{-5} \; A$$

e) Die Energie von $20 \; MeV$ sieht zwar gross aus, ist aber gegenüber der Ruhemasse des Protons klein. Daher auch hier nichtrelativistisch.

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{2 m_{p} c^{2} E_{k}}} = 6,4 \cdot 10^{-5} \; A.$$