Rechenübung am 19/20. April 2005

Vermischte Aufgaben über Photonen, Photoeffekt und Comptoneffekt

Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Wellenlänge und den Impuls eines Photons, dessen Energie gleich der Ruheenergie des Elektrons ist.
Aufgabe 2:
Bei welcher Temperatur wird die mittlere Energie eines Moleküls eines idealen Gases gleich der mittleren Energie eines Photons der Strahlung
a) des menschlichen Körpers ( $\lambda = 10 \mu m$),
b) des sichtbaren Lichtes ( $\lambda = 0,6 \mu m$) ?
Aufgabe 3:
Eine Metallfläche wird mit Licht der Wellenlänge $279 \; nm$ und $245 \; nm$ bestrahlt. Die jeweiligen Bremsspannungen sind $0,66 \; V$ und $1,26 \; V$. Berechnen Sie hieraus die Plancksche Konstante und die Austrittsarbeit des Metalls.
Aufgabe 4:
Vergleichen Sie die maximale Wellenlängenänderung bei der Compton- Streuung von Photonen an freien Elektronen mit der an Protonen ?
Aufgabe 5:
Ein Photon mit der Energie $0,8 \; MeV$ wird an einem freien Elektron gestreut. Die Wellenlänge des gestreuten Photons ist gleich der Comptonwellenlänge. Unter welchem Winkel wird das Photon gestreut ?
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen der Energie des Rückstoßelektrons beim Comptoneffekt als Funktion des Streuwinkels des Photons.



Lösungen
Aufgabe 1: Die Energie eines Photons ist

$$E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$$

In dieser Aufgabe soll $E = m_{e} c^{2}$ sein, dann ist

$$\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{hc}{m_{e}c^{2}} = \frac{1240 \; eV \cdot nm}{511 \cdot 10^{3} eV} = 2,43 \cdot 10^{-3} \; nm.$$

Den Impuls des Photons rechnen wir mit

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c}$$

Nach Aufgabenstellung sollte wieder $E = m_{e} c^{2}$ sein, daher

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} = \frac{m_{e}c^{2}}{c} = m_{e} c.$$

Hier verwendet man üblicherweise die Standardeinheiten mit $m_{e} = 0.911 \cdot 10^{-30} \; kg$ und $c = 3 \cdot 10^{8} m/s$, daher

$$p = 0,911 \cdot 10^{-30} 3 \cdot 10^{8} \; kg \cdot m/s = 2,73 \cdot 10^{-22} \; kg \cdot m/s.$$

Aufgabe 2: Aus

$$\frac{3}{2} k T = \frac{hc}{\lambda}$$

folgt:

$$T = \frac{2}{3} \frac{hc}{k \lambda}.$$

Wir verwenden $k = 8,62 \cdot 10^{-5} \; eV/K$ und erhalten

$$a) T = \frac{2}{3} \left( \frac{1240 \; eV \cdot nm}{8,62 \cdot 10^{-5} \; eV/K \; 10^{4} \; nm} \right) = 960 \; K.$$

$$b) T = \frac{2}{3} \left( \frac{1240 \; eV \cdot nm}{8,62 \cdot 10^{-5} \; eV/K \; 0,6 \cdot 10^{3} \; nm} \right) = 16000 \; K$$

Aufgabe 3: Aus den Angaben der Aufgabe erhalten wir das Gleichungssystem

$$e U_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - A$$

$$e U_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - A$$

mit der Austrittarbeit $A$, den Wellenlängen $\lambda_{1}$ und $\lambda_{2}$ und mit den dazugehörigen Bremsspannungen $U_{1}$ und $U_{2}$.
Berechnung von $hc$:

$$hc = \frac{e U_{1}-e U_{2}}{1/\lambda_{1} - 1/\lambda_{2}} \approx 1200 \; eV \cdot nm.$$

Berechnung von $A$:

$$A = \frac{hc}{\lambda_{1}} - e U_{1} = 3,64 \; eV.$$

Aufgabe 4: Bei der Comptonstreuung am Proton muss man die Componwellenlänge des Protons benutzen:

$$\lambda_{C,e} = \frac{h}{m_{e}c}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \lambda_{C,p} = \frac{h}{m_{p}c}.$$

Die maximale Wellenlängenänderung erhält man für $\varphi = 180^{o}$ oder $sin^{2}(\varphi/2) = 1$. Daher

$$a) Elektronen: \Delta \lambda_{max} = 2 \lambda_{C,e} = \frac{2 hc}{m_{e} c^{2}} = 4,8 \cdot 10^{-3} \; nm$$

$$b) Protonen : \Delta \lambda_{max} = 2 \lambda_{C,p} = \frac{2 hc}{m_{p} c^{2}} = 2,64 \cdot 10^{-6} \; nm$$

Aufgabe 5: Wir benutzen die allgemeine Formel

$$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 2 \lambda_{C} sin^{2}(\varphi/2) .$$

In dieser Aufgabe soll $\lambda' = \lambda_{C}$ sein, d.h.

$$\lambda_{C} - \lambda = 2 \lambda_{C} sin^{2}(\varphi/2).$$

Mit $\lambda_{C} = h/m_{e}c$ und $\lambda = h c/E$ erhalten wir

$$sin^{2}(\varphi/2) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{m_{e}c^{2}}{E} \right) = 0,18$$

und damit $\varphi = 50^{o}$.
Aufgabe 6: Wir schreiben den Energiesatz in der Form

$$E_{e} = h\nu - h\nu' = h \Delta\nu,$$

mit der kinetischen Energie $E_{e}$ des Rückstosselektrons. Daraus folgt auch

$$\frac{E_{e}}{h\nu} = \frac{\Delta \nu}{\nu}.$$

Wir müssen jetzt das $\Delta \nu$ umformen, um einen Ausdruck mit $\Delta \lambda$ zu gewinnen:

$$\Delta \nu = \nu - \nu' = \frac{c}{\lambda} - \frac{c}{\lamb... ...mbda)} = \nu \frac{\Delta \lambda}{\lambda + \Delta \lambda}.$$

Wir schreiben dieses um und erhalten

$$\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda + \Delta \lambda}.$$

Eingesetzt in die obige Gleichung und Beachtung von $\Delta \lambda = 2 \lambda_{C} sin^{2}(\varphi/2)$ führt auf

$$\frac{E_{e}}{h\nu} = \frac{2 \lambda_{C} sin^{2}(\varphi/2)}{\lambda + 2 \lambda_{C} sin^{2}(\varphi/2)}$$

Das Elektron erhält maximale Energie für $\varphi = 180^{o}$, daher

$$E_{e,max} = \frac{2\lambda_{C}}{\lambda + 2\lambda_{C}} h \nu.$$

Für energiereiche Photonen ist $\lambda \ll 2 \lambda_{C}$ und daher

$$E_{e,max} \rightarrow h\nu .$$

Bei hohen Energien geht die Comptonkante in den Photopeak über.