\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.12}
\centerline{Bonus"ubung}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 18. Juli 2005} 
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Die Wellenfunktionen des H-Atoms sind allgemein
\begin{displaymath}
\psi_{n,l,m} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} R_{n,l}(r) Y^{l}_{m}(\theta) e^{im\varphi}
\end{displaymath}
Mit $\vec{r} = r(sin\theta \; cos\varphi, sin\theta \; sin\varphi, cos\theta)$ 
kann man das Integral des Dipolmomentes faktorisieren
\begin{displaymath}
\vec{M_{i,k}} = e \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} dr \; r^{3} R_{i} R_{k} 
\int_{0}^{\pi} d(cos\theta) \int_{0}^{2 \pi} d\varphi (sin\theta \; cos\varphi, sin\theta \; sin\varphi,
cos\theta) Y_{m_{k}}^{l_{k}} Y_{m_{i}}^{l_{i}} e^{i(m_{k}-m_{i}) \varphi}
\end{displaymath}
Daraus erhalten wir f"ur $m_{i} = m_{k} = 0$
\begin{eqnarray}
M_{i,k}^{x} &\sim& \int_{0}^{2\pi} d\varphi \; cos\varphi = 0 \nonumber \\
M_{i,k}^{y} &\sim& \int_{0}^{2\pi} d\varphi \; sin\varphi = 0 \nonumber 
\end{eqnarray}
Bei der Berechnung der z-Komponente ist f"ur unseren speziellen Fall
\begin{displaymath}
\int_{0}^{2\pi} d\varphi \; e^{0} = 2 \pi
\end{displaymath}
und 
\begin{displaymath}
\int_{0}^{\pi} d(cos\theta) \; cos^{2}\theta = \frac{2}{3}
\end{displaymath}
Die Integration der $r$-Abh"angigkeit plus aller Faktoren ergibt
\begin{displaymath}
\frac{\sqrt{2}}{4 a_{0}^{4}} \int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-r(1/a_{0} + 1/2a_{0})}
= \frac{\sqrt{2}}{4 a_{0}^{4}} \frac{4!}{(1/a_{0} + 1/2a_{0})^{5}} \approx 1,12 a_{0}
\end{displaymath}
Aus allen Termen zusammen folgt
\begin{displaymath}
M_{i,k}^{z} = e \frac{1}{2\pi} (1,12 a_{0}) \frac{2}{3} 2 \pi = 0,75 \cdot e a_{0}.   
\end{displaymath}
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Bei einer festen Wellenl"ange ist die Leistung proportional der Zahl der detektierten Photonen.
Das Zerfallsgesetz lautet
\begin{displaymath}
\frac{N}{N_{0}} = e^{-t/\tau} = e^{-s/(v \tau)}
\end{displaymath}
im letzten Schritt wurde $t = s/v$ gesetzt. Daraus folgt:
\begin{displaymath}
ln \left( \frac{N}{N_{0}} \right) = -\frac{s}{v \tau}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\tau = \frac{2}{v \; ln(N_{0}/N} = \frac{0,0015}{1000 \; ln(3,32)} \; s = 1,25 \cdot 10^{-6} \; s
\end{displaymath} 
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Die Dopplerverbreiterung ist
\begin{displaymath}
\Delta \nu_{D} \approx \nu \frac{v}{c} 
\end{displaymath}
Hierbei haben wir einen Vorfaktor von $1,4$ vernachl"assigt.
Daraus folgt:
\begin{displaymath}
\frac{\Delta \lambda_{D}}{\lambda} = \frac{\Delta \nu_{D}}{\nu} = \frac{v}{c}
\end{displaymath}
Die nat"urliche Linienbreite bekommen wir aus der Unsch"arferelation 
$h \Delta \nu \approx \hbar/\tau$ zu
\begin{displaymath}
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta \nu}{\nu}
= \frac{\hbar \lambda}{\tau h c} = \frac{\lambda}{2 \pi \tau c}
\end{displaymath}
Das Verh"altnis ist
\begin{displaymath}
\frac{\Delta \lambda_{D}}{\Delta \lambda} = \frac{2 \pi v \tau }{\lambda} = 714.
\end{displaymath} 
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Wir vernachl\"assigen die Feinstruktur
und erhalten  zun\"achst die Energie der $K$- Schale aus der $K$- Absorptionslinie:
\begin{displaymath}
E_{K} = - \frac{hc}{\lambda_{K}} = - \frac{1240 \; e V \; nm}{0,2263 \; nm} 
= - 5479 \; eV.
\end{displaymath}
Von der Energie der $K$- Schale ausgehend k\"onnen wir mit der $K_{\beta}$- Linie
die Energie der $M$- Schale berechnen:
\begin{displaymath}
E_{M} = E_{K} + \frac{hc}{\lambda_{K_{\beta}}} = -5479 \; eV + 5439 \; eV = - 40 \; eV.
\end{displaymath}
Die $L_{\alpha}$- Linie entspricht einem \"Ubergang von der $M$ auf die $L$- Schale.
Daher
\begin{displaymath}
E_{L} = E_{M} - \frac{hc}{\lambda_{L_{\alpha}}} = -40 \; eV - 479 \; eV = - 519 \; eV.
\end{displaymath} 
\end{document}
