\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.10}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 4. Juli 2005}
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Normalerweise hat Chlor die Atomzahl $A=35$, d.h. es befinden sich 35 Neutronen und Protonen
im Kern. Als weiteres Isotop gibt es Chlor mit $A=37$, also zwei weiteren Neutronen.
Damit \"andert sich die reduzierte Masse um 
\begin{displaymath}
\frac{d\mu}{\mu} = \frac{37/38 - 35/36}{35/36} = \left( \frac{37 \cdot 36}{38 \cdot 35} - 1 \right)
 = (1,0015 - 1) = 0,0015 = 0,15 \%
\end{displaymath}
Die Frequenzen beim reinen Rotationsspektrum \"andern sich um
\begin{displaymath}
\frac{d\nu_{k}}{d\mu} = \frac{d}{d\mu} \left( \frac{\hbar^{2}(k+1)}{\mu d^{2}h} \right)
= - \frac{\hbar^{2} (k+1)}{\mu^{2} d^{2} h} = - \frac{\nu_{k}}{\mu}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\frac{d\nu_{k}}{\nu_{k}} = - \frac{d\mu}{\mu} = - 0,15\% .
\end{displaymath}
F\"ur das reine Schwingungsspektrum gilt entsprechend
\begin{displaymath}
\frac{d\nu_{S}}{d\mu} = \frac{d}{d\mu} \left( \frac{\hbar}{h} \sqrt{ \frac{D}{\mu} } \right)
= - \frac{1}{2} \frac{\nu_{S}}{\mu}
\end{displaymath}
Hier gilt also
\begin{displaymath}
\frac{d\nu_{S}}{\nu_{S}} = -\frac{1}{2} \frac{d\mu}{\mu} = -0.075 \% .
\end{displaymath}
Im Rotations- Schwingungsspektrum sehen wir nat\"urlich die Frequenz\"anderung von der Schwingung,
da diese Frequenzen um einen Faktor von ca. 1000 gr\"o"ser sind als die von der Rotation. 
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Die Kraftkonstante wird durch die Atomh\"ullen bestimmt. Diese sind in beiden Molek\"ulen
gleich, daher sind auch die Kraftkonstanten gleich. \newline
b) Die Dissiziationsenergie h\"angt von der Nullpunktsenergie bzw. von der Schwingungsfrequenz
$\omega_{0}$ ab. Da diese wiederum von der reduzierten Masse abh\"angt, erwarten wir
verschiedene Dissoziationsenergien im $H_{2}$- und $HD$- Molek\"ul. \newline
c) Die reduzierten Massen sind
\begin{displaymath}
\mu_{H_{2}} = \frac{1}{2} m_{p}, \; \; \; \; \; \mu_{HD} = \frac{2}{3} m_{p}, \; \; \; \; \;
\rightarrow \; \; \; \; \; \mu_{HD} = \frac{4}{3} \mu_{H_{2}}
\end{displaymath}
Die Schwingungsfrequenz des $HD$- Molek\"uls ist
\begin{displaymath}
\omega_{HD} = \sqrt{\frac{D'}{\mu_{HD}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} \omega_{H_{2}} 
= 7,17 \cdot 10^{14}\; s^{-1}
\end{displaymath}
Das $HD$- Molek\"ul hat also eine kleinere Nullpunktsenergie und damit eine gr\"ossere
Dissoziationsenergie als das $H_{2}$- Molek\"ul.
Die Differenz der Dissoziationsenergien ist
\begin{displaymath}
E_{Diss,HD} - E_{Diss,H_{2}} = \frac{1}{2} \hbar (\omega_{H_{2}} - \omega_{HD})
 = 0,5 \cdot 6,58 \cdot 10^{-16} \; eV \cdot s \; 1,11 \cdot 10^{14} \; s^{-1} = 0,037 \; eV.
\end{displaymath}
Daher ist die Dissoziationsenergie vom $HD$- Molek\"ul
\begin{displaymath}
E_{Diss,HD} = E_{Diss,H_{2}} + 0,037 \; eV = 4,515 \; eV.
\end{displaymath}
Mit diesen Messungen wurde die Existenz der Nullpunktsenergie bei Schwingungen nachgewiesen.
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
In einem Gas im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur $T$ befinden sich
\begin{displaymath}
N = \frac{g}{g_{0}} N_{0} e^{-(E-E_{0})/kT} 
\end{displaymath}
angeregte Atome (Molek"ule) in einem Zustand der Energie $E$. $N_{0}$ ist die Anzahl der Atome 
im Zustand der Energie $E_{0}$, $g$ und $g_{0}$ sind die Entartungsgrade der entsprechenden 
Zust"ande. Bei der Schwingung ist der Entartungsgrad offensichtlich $g_{0} = g = 1$. 
Das Verh"altnis der Molek"ule im ersten angeregten Zustand zur Anzahl im Grundzustand ist also
\begin{displaymath}
\eta = \frac{N_{1}}{N_{0}} = e^{-\hbar \omega_{0}/kT}
\end{displaymath}
Dieses ist gleichzeitig das Verh"altnis der Anti-Stokes zu Stokes- Linien, da der Wirkungsquerschnitt
der Streuung der Anzahl der vorhandenen Zust"ande proportional ist.
Dieses Verh"altnis sollte verdoppelt werden, also
\begin{displaymath}
e^{-\hbar \omega_{0}/kT_{2}} = 2 e^{-\hbar \omega_{0}/kT_{1}}
\end{displaymath}
Daraus kann $T_{2}$ berechnet werden zu
\begin{displaymath}
T_{2} = \frac{T_{1}}{1 - ln(2) \; k T_{1}/(\hbar \omega_{0})}
\end{displaymath}
Bei Zimmertemparatur ($T_{1} = 300 \; K$) ist $kT_{1} = 0.025 \; eV$. Die Energie des ersten
angeregten Zustandes ist $\hbar \omega_{0} = 6,97 \cdot 10^{-2} \; eV$. Damit folgt
$T_{2} = T_{1}/0.75 = (4/3) T_{1} = 400 \; K$.
Die Temperatur mu"s also um $100 \; K$ erh"oht werden  
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Die Energiedichte im Gas ist
\begin{displaymath}
\overline{E} = N_{0} ( \frac{3}{2} kT + \frac{f_{rot}}{2} kT + \frac{f_{Schw}}{2} kT)
             = N_{0} (\frac{3}{2} kT + kT + kT) = N_{0} \frac{7}{2} kT.
\end{displaymath}
Der Druck ist durch die Gasgleichung gegeben, also $p = (N/V) kT = N_{0} k T$. 
Hierbei ist $N_{0}$ die Anzahl der Molek"ule pro $cm^{3}$. Damit folgt
\begin{displaymath}
p = \frac{\overline{E}}{7/2} = \frac{2}{7} \overline{E}.
\end{displaymath} 
\end{document}
