Übung Nr.9

Abgabetermin: Montag, d. 27. Juni 2005

Aufgabe 1: (5 Punkte)
a) Die Summe aus der Energieverschiebung durch Spin- Bahn Kopplung,

$$E_{SB} = \alpha^{4} m c^{2} \frac{j(j+1) - l(l+1) - 3/4}{4n^{3} l(l+1/2)(l+1)}$$

und der relativistischen Korrektur

$$E_{rel} = - \alpha^{4} m c^{2} \frac{1}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{l+1/2} - \frac{3}{4} \right)$$

soll die gesamte Feinstrukturaufspaltung ergeben. Wir prüfen dieses getrennt für die beiden Fälle $j = l\pm 1/2$.
Sei zunächst $j = l+1/2$. Dann ist

$$E_{SB} = \alpha^{4} m c^{2} \frac{(l+1/2)(l+3/2) - l(l+1) - 3/4}{4n^{3} l(l+1/2)(l+1)} = \alpha^{4} m c^{2} \frac{l}{4n^{3}l(l+1/2)(l+1)}$$

$$= \frac{\alpha^{4}m c^{2}}{4n^{3}(l+1/2)(l+1)}$$

Für die Feinstrukturformel folgt dann

$$E_{FS} = E_{SB}+E_{rel} = \alpha^{4} m c^{2} \left( \frac{1}... ...)(l+1)} - \frac{1}{2 n^{3}(l+1/2)} + \frac{3}{8 n^{4}} \right)$$

Wir ziehen $2 n^{4}$ vor die Klammer und bringen die beiden ersten Terme auf einen Hauptnenner:

$$E_{FS} = \frac{\alpha^{4} m c^{2}}{2 n^{4}} \left( - \frac{n... ... c^{2}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right).$$

Beim zweiten Fall $j = l-1/2$ erhalten wir ähnlich

$$E_{SB} = - \frac{\alpha^{4}m c^{2}}{4 n^{3} l (l+1/2)}$$

und

$$E_{FS} = E_{SB}+E_{rel} = - \frac{\alpha^{4} m c^{2}}{2 n^{4... ...m c^{2}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right)$$

b) Wenn der Korrekturm in der FS- Formel verschwinden soll, muß

$$\frac{1}{j+1/2} = \frac{3}{4n}$$

oder

$$j = \frac{4}{3}n - \frac{1}{2}$$

sein. Da andererseits

$$n = l_{max}+1 = j_{max} + \frac{1}{2},$$

so würden wir für den Gesamtdrehimpuls erhalten:

$$j = \frac{4}{3} \left( j_{max}+\frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} = \frac{4}{3} j_{max} + \frac{1}{6} > j_{max}$$

Dieser offensichtliche Widerspruch zeigt, daß unsere angenommene Behauptung nicht möglich ist.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Zunächst müssen die Formeln für das Wasserstoffatom auf die Wasserstoff- ähnlichen Atome umgeschrieben werden. Dazu muß $\alpha$ durch $\alpha Z$ ersetzt werden. Man sieht dieses sofort, wenn man die Definition von $\alpha$ anschreibt:

$$\alpha = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} \hbar c}$$

das eine $e$ ist die Ladung des Elektrons, das andere $e$ die Ladung des Protons. Für Kerne mit $Z>1$ geht dieses über in

$$\frac{e^{2} Z}{4 \pi \epsilon_{0} \hbar c} = \alpha Z.$$

Die Energieeigenwerte sind dann

$$E_{n} = - \alpha^{2} m_{e} c^{2} \frac{Z^{2}}{n^{2}}$$

und die Feinstruktur- Korrektur

$$\Delta_{FS} = - \alpha^{4} m_{e} c^{2} \frac{Z^{4}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{j+1} - \frac{3}{4} \right)$$

Insgesamt sind unsere Energiewerte also

$$E_{n,j} = E_{n} \left[ 1 + \frac{\alpha^{2} Z^{2}}{n^{2}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right) \right]$$

Mit $\alpha^{2} = 5,33 \cdot 10^{-5}$ und $E_{n} = -(13.6 \; eV) Z^{2}/n^{2}$ können wir schreiben

$$E_{n,j} = -(13,6 \; eV) \frac{4}{n^{2}} \left[ 1 + \frac{2,1... ...}}{n^{2}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right) \right]$$

Für $n=3$ folgt:

$$E_{3,1/2} = - 6,04 \; eV [ 1 + 5,33 \cdot 10^{-5} ]$$

$$E_{3,3/2} = - 6,04 \; eV [ 1 + 1,78 \cdot 10^{-5} ]$$

$$E_{3,5/2} = - 6,04 \; eV [ 1 + 0,59 \cdot 10^{-5} ]$$

Entsprechend für $n=4$:

$$E_{4,1/2} = - 3,04 \; eV [ 1 + 4,33 \cdot 10^{-5} ]$$

$$E_{4,3/2} = - 3,04 \; eV [ 1 + 1,67 \cdot 10^{-5} ]$$

$$E_{4,5/2} = - 3,04 \; eV [ 1 + 0,78 \cdot 10^{-5} ]$$

$$E_{4,7/2} = - 3,04 \; eV [ 1 + 0,33 \cdot 10^{-5} ]$$

Skizze:

b) Mit den Auswahlreglen $\Delta l = \pm 1$ und $\Delta j = 0, \pm 1$ erhält man die in der obigen Skizze eingezeichneten 8 Übergänge. Da die Feinstrukturformel für jedes $n$ und jedes $j$ einen anderen Wert liefert, sind die Frequenzen für alle erlaubten Übergänge verschieden, man erhält also auch 8 verschiedene Spektrallinien.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
a) Das Magnetfeld eines Dipols ist

$$\vec{B}(\vec{r}) = - \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \vec{\nabla} \lef... ...c{\mu} \cdot \vec{r})\vec{r} - \vec{\mu} r^{2}}{r^{5}} \right)$$

Die Wechselwirkungsenergie zweier Dipole ist dann

$$E_{m} = - \vec{\mu}_{2} \cdot \vec{B}_{1}(\vec{r}) = + \frac... ... \cdot \vec{r}) (\vec{\mu}_{2} \cdot \vec{r})}{r^{5}} \right).$$

Skizze:

Aus dem Ergebnis

$$E_{m} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \left( \frac{\mu_{1} \mu_{2}}{r... ...0}}{4\pi} \frac{\mu_{1} \mu_{2}}{r^{3}} ( 1 - 3 cos^{2}\theta)$$

folgt das Maximum bei $\theta = 90^{o}$ und das Minimum bei $\theta = 0^{o}$ oder $180^{o}$.
b) Für das Elektron gilt:

$$\vert\mu_{e}\vert = g_{s} \mu_{B} \sqrt{s(s+1)} = \sqrt{3} \mu_{B}.$$

Für das Proton entsprechend mit $g_{p} = 5,585$ und $\mu_{K} = \mu_{B}/1836,15$:

$$\vert\mu_{p}\vert = g_{p} \mu_{K} \sqrt{s(s+1)} = 2,63 \cdot 10^{-3} \; \mu_{B}$$

Die maximale Energie ist

$$E_{m,max} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mu_{e} \mu_{p}}{r^{3}} = 3,6 \cdot 10^{-9} \; eV.$$

Für das Minimum erhalten wir

$$E_{m,min} = -2 \cdot E_{max} = - 7,2 \cdot 10^{-9} \; eV.$$

Aufgabe 4: (5 Punkte)
Die Korrektur von der Hyperfeinstruktur beträgt

$$E_{F} = \frac{a}{2} [ F(F+1) - I(I+1) - J(J+1) ]$$

a) Der Abstand aufeinanderfolgender Energieniveaus ist also

$$E_{F+1} - E_{F} = \frac{a}{2} [ (F+1)(F+2) - I(I+1) -J(J+1) - F(F+1) + I(I+1) + J(J+1)]$$

$$= \frac{a}{2} [ F^{2} + F + 2F + 2 - F^{2} - F] = \frac{a}{2} [ 2F + 2] = a (F+1).$$

b) Es muß einen minimalen Gesamtdrehimpuls geben, diesen nennen wir $F_{min}$. Damit erhalten wir mit der Intervallregel das überbestimmte lineare Gleichungssystem:

$$F_{min} + 1 = x_{1}/a$$

$$F_{min} + 2 = x_{2}/a$$

$$F_{min} + 3 = x_{3}/a$$

$$F_{min} + 4 = x_{4}/a$$

$$F_{min} + 5 = x_{5}/a$$

mit den Unbekannten $F_{min}$ und $1/a$. $x_{1}$ bis $x_{5}$ sind die in der Aufgabe angegeben Abstände zwischen den Niveaus. Mit einem Least Square Fit erhalten wir $F_{min} = 1,98 \pm 0,10$ und $1/a = (12,67 \pm 0,24) \; cm$ oder $a = (0,0789 \pm 0,0015) \; cm^{-1}$. Daraus folgt der Kerspin zu $I = F_{min} + J = 4,48 \pm 0,10 \approx 9/2$.