\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.9}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 27. Juni 2005}
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Die Summe aus der Energieverschiebung durch Spin- Bahn Kopplung,
\begin{displaymath}
E_{SB} = \alpha^{4} m c^{2} \frac{j(j+1) - l(l+1) - 3/4}{4n^{3} l(l+1/2)(l+1)}
\end{displaymath}
und der relativistischen Korrektur
\begin{displaymath}
E_{rel} = - \alpha^{4} m c^{2} \frac{1}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{l+1/2} - \frac{3}{4} \right)
\end{displaymath}
soll die gesamte Feinstrukturaufspaltung ergeben. Wir pr"ufen dieses getrennt f"ur die beiden
F"alle $j = l\pm 1/2$. \newline
Sei zun"achst $j = l+1/2$. Dann ist
\begin{eqnarray}
E_{SB} &=& \alpha^{4} m c^{2} \frac{(l+1/2)(l+3/2) - l(l+1) - 3/4}{4n^{3} l(l+1/2)(l+1)}
= \alpha^{4} m c^{2} \frac{l}{4n^{3}l(l+1/2)(l+1)} \nonumber \\
       &=& \frac{\alpha^{4}m c^{2}}{4n^{3}(l+1/2)(l+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
F"ur die Feinstrukturformel folgt dann
\begin{displaymath}
E_{FS} = E_{SB}+E_{rel} = \alpha^{4} m c^{2} \left( \frac{1}{4n^{3} (l+1/2)(l+1)} - \frac{1}{2 n^{3}(l+1/2)}
+ \frac{3}{8 n^{4}} \right)
\end{displaymath}
Wir ziehen $2 n^{4}$ vor die Klammer und bringen die beiden ersten Terme auf einen Hauptnenner:
\begin{displaymath}
E_{FS} =  \frac{\alpha^{4} m c^{2}}{2 n^{4}} \left( - \frac{n}{l+1} + \frac{3}{4} \right)
= - \frac{\alpha^{4} m c^{2}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right).
\end{displaymath}
Beim zweiten Fall $j = l-1/2$ erhalten wir "ahnlich
\begin{displaymath}
E_{SB} = - \frac{\alpha^{4}m c^{2}}{4 n^{3} l (l+1/2)}
\end{displaymath}
und 
\begin{displaymath}
E_{FS} = E_{SB}+E_{rel} = - \frac{\alpha^{4} m c^{2}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{l} - \frac{3}{4} \right)
= - \frac{\alpha^{4} m c^{2}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right)
\end{displaymath}
b) Wenn der Korrekturm in der FS- Formel verschwinden soll, mu"s
\begin{displaymath}
\frac{1}{j+1/2} = \frac{3}{4n}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
j = \frac{4}{3}n - \frac{1}{2}
\end{displaymath}
sein. Da andererseits
\begin{displaymath}
n = l_{max}+1 = j_{max} + \frac{1}{2},
\end{displaymath}
so w"urden wir f"ur den Gesamtdrehimpuls erhalten:
\begin{displaymath}
j = \frac{4}{3} \left( j_{max}+\frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} = \frac{4}{3} j_{max} + \frac{1}{6}
> j_{max}
\end{displaymath}
Dieser offensichtliche Widerspruch zeigt, da"s unsere angenommene Behauptung nicht m"oglich ist.
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Zun"achst m"ussen die Formeln f"ur das Wasserstoffatom auf die Wasserstoff- "ahnlichen
Atome umgeschrieben werden. Dazu mu"s $\alpha$ durch $\alpha Z$ ersetzt werden.
Man sieht dieses sofort, wenn man die Definition von $\alpha$ anschreibt:
\begin{displaymath}
\alpha = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} \hbar c}
\end{displaymath}
das eine $e$ ist die Ladung des Elektrons, das andere $e$ die Ladung des Protons.
F"ur Kerne mit $Z>1$ geht dieses "uber in
\begin{displaymath} 
\frac{e^{2} Z}{4 \pi \epsilon_{0} \hbar c} = \alpha Z.
\end{displaymath}
Die Energieeigenwerte sind dann
\begin{displaymath}
E_{n} = - \alpha^{2} m_{e} c^{2} \frac{Z^{2}}{n^{2}}
\end{displaymath}
und die Feinstruktur- Korrektur
\begin{displaymath}
\Delta_{FS} = - \alpha^{4} m_{e} c^{2} \frac{Z^{4}}{2 n^{4}} \left( \frac{n}{j+1} - \frac{3}{4}
\right)
\end{displaymath}
Insgesamt sind unsere Energiewerte also
\begin{displaymath}
E_{n,j} = E_{n} \left[ 1 + \frac{\alpha^{2} Z^{2}}{n^{2}} \left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} 
\right) \right]
\end{displaymath}
Mit $\alpha^{2} = 5,33 \cdot 10^{-5}$ und $E_{n} = -(13.6 \; eV) Z^{2}/n^{2}$ k"onnen wir
schreiben
\begin{displaymath}
E_{n,j} = -(13,6 \; eV) \frac{4}{n^{2}} \left[ 1 + \frac{2,132 \cdot 10^{-4}}{n^{2}}
\left( \frac{n}{j+1/2} - \frac{3}{4} \right) \right]
\end{displaymath}
F"ur $n=3$ folgt:
\begin{eqnarray}
E_{3,1/2} &=& - 6,04 \; eV [ 1 + 5,33 \cdot 10^{-5} ] \nonumber \\
E_{3,3/2} &=& - 6,04 \; eV [ 1 + 1,78 \cdot 10^{-5} ] \nonumber \\
E_{3,5/2} &=& - 6,04 \; eV [ 1 + 0,59 \cdot 10^{-5} ] \nonumber 
\end{eqnarray}
Entsprechend f"ur $n=4$:
\begin{eqnarray}
E_{4,1/2} &=& - 3,04 \; eV [ 1 + 4,33 \cdot 10^{-5} ] \nonumber \\
E_{4,3/2} &=& - 3,04 \; eV [ 1 + 1,67 \cdot 10^{-5} ] \nonumber \\
E_{4,5/2} &=& - 3,04 \; eV [ 1 + 0,78 \cdot 10^{-5} ] \nonumber \\ 
E_{4,7/2} &=& - 3,04 \; eV [ 1 + 0,33 \cdot 10^{-5} ] \nonumber 
\end{eqnarray}
Skizze: \newline \vskip 7cm
b) Mit den Auswahlreglen $\Delta l = \pm 1$ und $\Delta j = 0, \pm 1$ erh"alt man die
in der obigen Skizze eingezeichneten 8 "Uberg"ange. Da die Feinstrukturformel f"ur jedes
$n$ und jedes $j$ einen anderen Wert liefert, sind die Frequenzen f"ur alle
erlaubten "Uberg"ange verschieden, man erh"alt also auch 8 verschiedene Spektrallinien.
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Das Magnetfeld eines Dipols ist
\begin{displaymath}
\vec{B}(\vec{r}) = - \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \vec{\nabla} \left( \frac{\vec{\mu} \cdot \vec{r}}{r^{3}} \right)
= + \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left( \frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r})\vec{r} - \vec{\mu} r^{2}}{r^{5}} \right)
\end{displaymath}
Die Wechselwirkungsenergie zweier Dipole ist dann
\begin{displaymath}
E_{m} = - \vec{\mu}_{2} \cdot \vec{B}_{1}(\vec{r}) = + \frac{\mu_{0}}{4 \pi}
\left( \frac{\vec{\mu}_{1} \cdot \vec{\mu}_{2}}{r^{3}} - 3 \frac{(\vec{\mu}_{1} \cdot \vec{r})
(\vec{\mu}_{2} \cdot \vec{r})}{r^{5}} \right).
\end{displaymath}
Skizze: \newline \vskip 4cm
Aus dem Ergebnis
\begin{displaymath}
E_{m} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \left( \frac{\mu_{1} \mu_{2}}{r^{3}} 
- 3 \frac{\mu_{1} \mu_{2} r^{2} cos^{2}\theta}{r^{5}} \right) 
= \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{\mu_{1} \mu_{2}}{r^{3}} ( 1 - 3 cos^{2}\theta)
\end{displaymath}
folgt das Maximum bei $\theta = 90^{o}$ und das Minimum bei $\theta = 0^{o}$ oder $180^{o}$.  
\newline
b) F"ur das Elektron gilt:
\begin{displaymath}
|\mu_{e}| = g_{s} \mu_{B} \sqrt{s(s+1)} = \sqrt{3} \mu_{B}.
\end{displaymath}
F"ur das Proton entsprechend mit $g_{p} = 5,585$ und $\mu_{K} = \mu_{B}/1836,15$:
\begin{displaymath}
|\mu_{p}| = g_{p} \mu_{K} \sqrt{s(s+1)} = 2,63 \cdot 10^{-3} \; \mu_{B}
\end{displaymath}
Die maximale Energie ist
\begin{displaymath}
E_{m,max} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mu_{e} \mu_{p}}{r^{3}} = 3,6 \cdot 10^{-9} \; eV.
\end{displaymath}
F"ur das Minimum erhalten wir
\begin{displaymath}
E_{m,min} = -2 \cdot E_{max} = - 7,2 \cdot 10^{-9} \; eV.
\end{displaymath}  
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Die Korrektur von der Hyperfeinstruktur betr"agt
\begin{displaymath}
E_{F} = \frac{a}{2} [ F(F+1) - I(I+1) - J(J+1) ] 
\end{displaymath}
a) Der Abstand aufeinanderfolgender Energieniveaus ist also
\begin{eqnarray}
E_{F+1} - E_{F} &=& \frac{a}{2} [ (F+1)(F+2) - I(I+1) -J(J+1) - F(F+1) + I(I+1) + J(J+1)] \nonumber \\
&=& \frac{a}{2} [ F^{2} + F + 2F + 2 - F^{2} - F] = \frac{a}{2} [ 2F + 2] = a (F+1). \nonumber
\end{eqnarray}
b) Es mu"s einen minimalen Gesamtdrehimpuls geben, diesen nennen wir $F_{min}$. 
Damit erhalten wir mit der Intervallregel das "uberbestimmte lineare Gleichungssystem:
\begin{eqnarray}
F_{min} + 1 &=& x_{1}/a \nonumber \\
F_{min} + 2 &=& x_{2}/a \nonumber \\
F_{min} + 3 &=& x_{3}/a \nonumber \\
F_{min} + 4 &=& x_{4}/a \nonumber \\
F_{min} + 5 &=& x_{5}/a \nonumber 
\end{eqnarray}
mit den Unbekannten $F_{min}$ und $1/a$. $x_{1}$ bis $x_{5}$ sind die in der Aufgabe angegeben Abst"ande
zwischen den Niveaus. Mit einem Least Square Fit erhalten wir $F_{min} = 1,98 \pm 0,10$ und
$1/a = (12,67 \pm 0,24) \; cm$ oder $a = (0,0789 \pm 0,0015) \; cm^{-1}$. Daraus folgt der Kerspin
zu $I = F_{min} + J = 4,48 \pm 0,10 \approx 9/2$.  
\end{document}
