Übung Nr.8
Abgabetermin: Montag, d. 20. Juni 2005
Aufgabe 1: (5 Punkte)
a) Bei zwei Teilchen hatten wir die Wellenfunktion in der Vorlesung geschrieben als
wobei die symmetrische Wellenfunktion für Spin-1 Teilchen (Bosonen), die antisymmetrische
für Spin-1/2 Teilchen (Fermionen) gilt. Mit und werden alle Quantenzahlen berzeichnet.
Wir erweitern diese Gleichungen auf drei Teilchen:
Die erste Zeile stellt zyklische , die zweite Zeile anti-zyklische Vertauschungen dar.
Allgemein muss man alle Permutationen hinschreiben, bei 3 Teilchen also
Zustände, und diese mit dem richtigen Vorzeichen versehen.
Das untere Vorzeichen in der zweiten Zeile gehört zum antisymmetrischen (Fermionen), das oberere
Vorzeichen zum symmetrischen Zustand (Bosonen). Man prüft leicht nach, daß z.B.
und
ist.
b) Die Wellenfunktionen für ein Teilchen im Kastenpotential lauteten
Bosonen kümmern sich nicht um das Pauli- Prinzip, können also alle im untersten
Energieniveau Platz nehmen, d.h.
und daher einfach
Für die Fermionen müssen wir dagegen das Pauli- Prinzip beachten. Die kleinste Gesamtenergie
erhalten wir bei , und :
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Quantenmechanisch ist die Situation einfach. Im d-Zustand ist , die Spinquantenzahl
des Elektrons ist , die Gesamtdrehimpuls- Quantenzahl kann die Werte
und annehmen. Die entsprechenden Drehimpulse sind
,
,
und
.
Bahndrehimpuls und Spin rotieren mit einem konstanten Phasenwinkel um die - Achse. Die entsprechenden
Projektionen sind rechts in der Abbildung gezeigt. Alle Längen in diesen Dreiecken sind bekannt.
Damit können die Winkel berechnet werden.
Wir erhalten
und
. Leider kann man in diesen Dreiecken nicht mehr die
Addition der z- Komponenten sehen.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
a) Das magnetische Moment bei der Addition von Bahndrehimpuls und Spin ist allgemein
Mit und kann man beim Elektron also schreiben
Zur Auswertung multiplizieren wir mit
:
Mit
(siehe Skript Kap.9.4 Formel (40))
kann man dieses umschreiben in
Einsetzen der möglichen Werte für , und ergibt dann
Vergleich mit
zeigt, daß
sein muß.
b) Die Feinstruktur- Niveaus und werden jetzt durch den anomalen Zeeman- Effekt
nochmals in 4 bzw 2 Niveaus aufgesplitted.
Die Energien berechnen sich aus
Aus der Formel von Teil a) erhalten wir
und
. Das obere Niveau
des Zustandes ist dann mit
das unterste Niveau des Zustandes entsprechend mit :
Beide Niveaus fallen zusammen, wenn
Die dafür notwendige Magnetfeldstärke ist mit
:
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Es handelt sich um die d- Schale, die maximal 10 Elektronen aufnehmen kann. Nach der
Hundschen Regel möchten sich gerne alle Elektronen- Spins parallel einstellen. Dieses
ist im vorliegenden Fall möglich, da bei Bahndrehimpuls fünf
Quantisierungsmöglichten für vorhanden sind. Das Pauli- Prinzip ist also
erfüllt.
Damit erhalten wir
. Eine erweiterte Regel von Hundt besagt, daß
im Grundzustand auch ist. In unserem Fall also .
Der Gesamtspin ist
und die Multiplizität . Der Term- Typ ist also
Harm Fesefeldt
2005-06-21