Übung Nr.8
Abgabetermin: Montag, d. 20. Juni 2005

Aufgabe 1: (5 Punkte)
a) Bei zwei Teilchen hatten wir die Wellenfunktion in der Vorlesung geschrieben als
$\displaystyle \psi^{s}(1,2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} [\psi_{1}(a) \psi_{2}(b) + \psi_{1}(b) \psi_{2}(a)]$  
$\displaystyle \psi^{a}(1,2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} [\psi_{1}(a) \psi_{2}(b) - \psi_{1}(b) \psi_{2}(b)],$  

wobei die symmetrische Wellenfunktion für Spin-1 Teilchen (Bosonen), die antisymmetrische für Spin-1/2 Teilchen (Fermionen) gilt. Mit $a$ und $b$ werden alle Quantenzahlen berzeichnet. Wir erweitern diese Gleichungen auf drei Teilchen:
$\displaystyle \psi^{s}_{a}(1,2,3) = \frac{1}{\sqrt{6}} [$ $\textstyle +$ $\displaystyle \psi_{1}(a) \psi_{2}(b) \psi_{3}(c)
+ \psi_{1}(c) \psi_{2}(a) \psi_{3}(b)
+ \psi_{1}(b) \psi_{2}(c) \psi_{3}(a)$  
  $\textstyle \pm$ $\displaystyle \psi_{1}(a) \psi_{2}(c) \psi_{3}(b)
\pm \psi_{1}(b) \psi_{2}(a) \psi_{3}(c)
\pm \psi_{1}(c) \psi_{2}(b) \psi_{3}(a) ]$  

Die erste Zeile stellt zyklische , die zweite Zeile anti-zyklische Vertauschungen dar. Allgemein muss man alle Permutationen hinschreiben, bei 3 Teilchen also $3! = 6$ Zustände, und diese mit dem richtigen Vorzeichen versehen. Das untere Vorzeichen in der zweiten Zeile gehört zum antisymmetrischen (Fermionen), das oberere Vorzeichen zum symmetrischen Zustand (Bosonen). Man prüft leicht nach, daß z.B. $\psi^{s}(2,1,3) = \psi^{s}(1,2,3)$ und $\psi^{a}(2,1,3) = - \psi^{a}(1,2,3)$ ist.
b) Die Wellenfunktionen für ein Teilchen im Kastenpotential lauteten

\begin{displaymath}
\psi_{n} = \sqrt{\frac{2}{L}} \; sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right).
\end{displaymath}

Bosonen kümmern sich nicht um das Pauli- Prinzip, können also alle im untersten Energieniveau Platz nehmen, d.h. $n = a = b = c = 1$ und daher einfach

\begin{displaymath}
\psi_{s}(x_{1},x_{2},x_{3}) = \left( \frac{2}{L} \right)^{3/...
...\pi x_{2}}{L} \right)
sin \left( \frac{ \pi x_{3}}{L} \right)
\end{displaymath}

Für die Fermionen müssen wir dagegen das Pauli- Prinzip beachten. Die kleinste Gesamtenergie erhalten wir bei $a = n= 1$, $b = n = 2$ und $c = n = 3$:
$\displaystyle \psi_{a}(x_{1},x_{2},x_{3}) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \frac{2}{L} \right)^{3/2} =$      
$\displaystyle \lbrack + sin \left( \frac{ 1 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \f...
...\left( \frac{ 1 \pi x_{2}}{L} \right)
sin \left( \frac{ 2 \pi x_{3}}{L} \right)$      
$\displaystyle + sin \left( \frac{ 2 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 3 \...
...\left( \frac{ 3 \pi x_{2}}{L} \right)
sin \left( \frac{ 2 \pi x_{3}}{L} \right)$      
$\displaystyle - sin \left( \frac{ 2 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 1 \...
...frac{ 2 \pi x_{2}}{L} \right)
sin \left( \frac{ 1 \pi x_{3}}{L} \right) \rbrack$      


Aufgabe 2: (5 Punkte)
Quantenmechanisch ist die Situation einfach. Im d-Zustand ist $l=2$, die Spinquantenzahl des Elektrons ist $s = 1/2$, die Gesamtdrehimpuls- Quantenzahl kann die Werte $j=3/2$ und $j=5/2$ annehmen. Die entsprechenden Drehimpulse sind $L = \sqrt{2(2+1)} \hbar = \sqrt{6} \hbar = 2,45 \hbar$, $S = \sqrt{(1/2)(1/2+1)} \hbar = (\sqrt{3}/2) \hbar = 0,87 \hbar$, $J_{3/2} = \sqrt{(3/2)(3/2+1)} \hbar = (\sqrt{15}/2) \hbar = 1,94 \hbar$ und $J_{5/2} = \sqrt{(5/2)(5/2+1)} \hbar = (\sqrt{35}/2) \hbar = 2,96 \hbar$. Bahndrehimpuls und Spin rotieren mit einem konstanten Phasenwinkel um die $z$- Achse. Die entsprechenden Projektionen sind rechts in der Abbildung gezeigt. Alle Längen in diesen Dreiecken sind bekannt.

Damit können die Winkel berechnet werden. Wir erhalten $\Theta_{1} = 45^{o}$ und $\Theta_{2} = 118^{o}$. Leider kann man in diesen Dreiecken nicht mehr die Addition der z- Komponenten sehen.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
a) Das magnetische Moment bei der Addition von Bahndrehimpuls und Spin ist allgemein

\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = \frac{\mu_{B}}{\hbar} (g_{l} \vec{l} + g_{s} \vec{s})
\end{displaymath}

Mit $g_{l} = -1$ und $g_{s} = -2$ kann man beim Elektron also schreiben

\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = - \frac{\mu_{B}}{\hbar} (\vec{l} + 2 \vec{s})
\end{displaymath}

Zur Auswertung multiplizieren wir mit $\cdot \vec{j} (\vec{j}/\vert\vec{j}\vert^{2})$:

\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = \frac{\vec{\mu}_{j} \cdot \vec{j}}{\vert\vec...
...\vec{l}^{2} + 2 \vec{s}^{2} + 3 \vec{l} \cdot \vec{s}) \vec{j}
\end{displaymath}

Mit $2 \vec{l} \cdot \vec{s} = \vec{j}^{2} - \vec{l}^{2} - \vec{s}^{2}$ (siehe Skript Kap.9.4 Formel (40)) kann man dieses umschreiben in

\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = - \frac{\mu_{B}}{\hbar} \frac{(3 \vec{j}^{2} + \vec{s}^{2} - \vec{l}^{2})}
{2 \vert\vec{j}\vert^{2}} \vec{j}
\end{displaymath}

Einsetzen der möglichen Werte für $\vec{j}^{2}$, $\vec{l}^{2}$ und $\vec{s}^{2}$ ergibt dann

\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = - \frac{\mu_{B}}{\hbar} \frac{3j(j+1) + s(s+...
...left( 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} \right) \vec{j}
\end{displaymath}

Vergleich mit $\vec{\mu}_{j} = g_{j} (\mu_{B}/\hbar) \vec{j}$ zeigt, daß

\begin{displaymath}
g_{j} = - \left( 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} \right)
\end{displaymath}

sein muß.
b) Die Feinstruktur- Niveaus $p_{3/2}$ und $p_{1/2}$ werden jetzt durch den anomalen Zeeman- Effekt nochmals in 4 bzw 2 Niveaus aufgesplitted.

Die Energien berechnen sich aus

\begin{displaymath}
E_{j, m_{j}} = E_{j} - \vec{\mu}_{j} \cdot \vec{B} =E_{j} - ...
...vert m_{j} \hbar B = E_{j} + \mu_{B} m_{j} \vert g_{j}\vert B.
\end{displaymath}

Aus der Formel von Teil a) erhalten wir $\vert g_{1/2}\vert = 2/3$ und $\vert g_{3/2}\vert = 4/3$. Das obere Niveau des $p_{1/2}$ Zustandes ist dann mit $m_{j} = +1/2$

\begin{displaymath}
E_{1/2,m_{j}=1/2} = E_{1/2} + \frac{2}{3} \; \frac{1}{2} \mu_{B} B = E_{1/2} + \frac{1}{3} \mu_{B} B,
\end{displaymath}

das unterste Niveau des $p_{3/2}$ Zustandes entsprechend mit $m_{j}=-3/2$:

\begin{displaymath}
E_{3/2,m_{j}=-3/2} = E_{3/2} - \frac{3}{2} \; \frac{4}{3} \mu_{B} B = E_{3/2} - 2 \mu_{B} B.
\end{displaymath}

Beide Niveaus fallen zusammen, wenn

\begin{displaymath}
E_{1/2} + \frac{1}{3} \mu_{B} B = E_{3/2} - 2 \mu_{B} B
\end{displaymath}

Die dafür notwendige Magnetfeldstärke ist mit $E_{3/2}-E_{1/2} = 2,1 \cdot 10^{-3} eV$:

\begin{displaymath}
B = \frac{3}{7} \frac{E_{3/2}-E_{1/2}}{\mu_{B}} = 15,5 \; T
\end{displaymath}


Aufgabe 4: (5 Punkte)
Es handelt sich um die d- Schale, die maximal 10 Elektronen aufnehmen kann. Nach der Hundschen Regel möchten sich gerne alle Elektronen- Spins parallel einstellen. Dieses ist im vorliegenden Fall möglich, da bei Bahndrehimpuls $l=2$ fünf Quantisierungsmöglichten für $m_{l}$ vorhanden sind. Das Pauli- Prinzip ist also erfüllt.

Damit erhalten wir $M_{L} = \sum m_{l} = 0$. Eine erweiterte Regel von Hundt besagt, daß im Grundzustand auch $L = \vert M_{L}\vert$ ist. In unserem Fall also $L = 0$. Der Gesamtspin ist $S = 5 \cdot 1/2 = 5/2$ und die Multiplizität $2S+1 = 6$. Der Term- Typ ist also

\begin{displaymath}
^{2S+1}L_{S} = ^{6}S_{5/2}
\end{displaymath}





Harm Fesefeldt
2005-06-21