\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.8}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 20. Juni 2005}
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Bei zwei Teilchen hatten wir die Wellenfunktion in der Vorlesung geschrieben als
\begin{eqnarray}
\psi^{s}(1,2) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} [\psi_{1}(a) \psi_{2}(b) + \psi_{1}(b) \psi_{2}(a)] \nonumber \\
\psi^{a}(1,2) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} [\psi_{1}(a) \psi_{2}(b) - \psi_{1}(b) \psi_{2}(b)], \nonumber
\end{eqnarray}
wobei die symmetrische Wellenfunktion f"ur Spin-1 Teilchen (Bosonen), die antisymmetrische
f"ur Spin-1/2 Teilchen (Fermionen) gilt. Mit $a$ und $b$ werden alle Quantenzahlen berzeichnet.
Wir erweitern diese Gleichungen auf drei Teilchen:
\begin{eqnarray}
\psi^{s}_{a}(1,2,3) = \frac{1}{\sqrt{6}} [ &+& \psi_{1}(a) \psi_{2}(b) \psi_{3}(c)
                                           +   \psi_{1}(c) \psi_{2}(a) \psi_{3}(b)
                                           +   \psi_{1}(b) \psi_{2}(c) \psi_{3}(a) \nonumber \\
                                         &\pm& \psi_{1}(a) \psi_{2}(c) \psi_{3}(b) 
                                          \pm  \psi_{1}(b) \psi_{2}(a) \psi_{3}(c)
                                          \pm  \psi_{1}(c) \psi_{2}(b) \psi_{3}(a) ] \nonumber
\end{eqnarray}
Die erste Zeile stellt zyklische , die zweite Zeile anti-zyklische Vertauschungen dar.
Allgemein muss man alle Permutationen hinschreiben, bei 3 Teilchen also $3! = 6$
Zust"ande, und diese mit dem richtigen Vorzeichen versehen. 
Das untere Vorzeichen in der zweiten Zeile geh"ort zum antisymmetrischen (Fermionen), das oberere 
Vorzeichen zum symmetrischen Zustand (Bosonen). Man pr"uft leicht nach, da"s z.B.
$\psi^{s}(2,1,3) = \psi^{s}(1,2,3)$ und $\psi^{a}(2,1,3) = - \psi^{a}(1,2,3)$ ist. \newline
b) Die Wellenfunktionen f"ur ein Teilchen im Kastenpotential lauteten
\begin{displaymath}
\psi_{n} = \sqrt{\frac{2}{L}} \; sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right).
\end{displaymath}
Bosonen k"ummern sich nicht um das Pauli- Prinzip, k"onnen also alle im untersten 
Energieniveau Platz nehmen, d.h. $n = a = b = c = 1$ und daher einfach
\begin{displaymath}
\psi_{s}(x_{1},x_{2},x_{3}) =  \left( \frac{2}{L} \right)^{3/2} 
  sin \left( \frac{ \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ \pi x_{2}}{L} \right)
  sin \left( \frac{ \pi x_{3}}{L} \right)
\end{displaymath}
F"ur die Fermionen m"ussen wir dagegen das Pauli- Prinzip beachten. Die kleinste Gesamtenergie
erhalten wir bei $a = n= 1$, $b = n = 2$ und $c = n = 3$: \newpage
\begin{eqnarray}
\psi_{a}(x_{1},x_{2},x_{3}) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \frac{2}{L} \right)^{3/2} = \nonumber \\
  \lbrack + sin \left( \frac{ 1 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 2 \pi x_{2}}{L} \right)
            sin \left( \frac{ 3 \pi x_{3}}{L} \right)
        + sin \left( \frac{ 3 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 1 \pi x_{2}}{L} \right)
            sin \left( \frac{ 2 \pi x_{3}}{L} \right) \nonumber \\
        + sin \left( \frac{ 2 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 3 \pi x_{2}}{L} \right)
            sin \left( \frac{ 1 \pi x_{3}}{L} \right) 
        - sin \left( \frac{ 1 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 3 \pi x_{2}}{L} \right)
            sin \left( \frac{ 2 \pi x_{3}}{L} \right) \nonumber \\
        - sin \left( \frac{ 2 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 1 \pi x_{2}}{L} \right)
            sin \left( \frac{ 3 \pi x_{3}}{L} \right)
        - sin \left( \frac{ 3 \pi x_{1}}{L} \right) sin \left( \frac{ 2 \pi x_{2}}{L} \right)
            sin \left( \frac{ 1 \pi x_{3}}{L} \right) \rbrack  \nonumber
\end{eqnarray}
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Quantenmechanisch ist die Situation einfach. Im d-Zustand ist $l=2$, die Spinquantenzahl
des Elektrons ist $s = 1/2$, die Gesamtdrehimpuls- Quantenzahl  kann die Werte 
$j=3/2$ und $j=5/2$ annehmen. Die entsprechenden Drehimpulse sind
$L = \sqrt{2(2+1)} \hbar = \sqrt{6} \hbar = 2,45 \hbar$,
$S = \sqrt{(1/2)(1/2+1)} \hbar = (\sqrt{3}/2) \hbar = 0,87 \hbar$,
$J_{3/2} = \sqrt{(3/2)(3/2+1)} \hbar = (\sqrt{15}/2) \hbar = 1,94 \hbar$ und
$J_{5/2} = \sqrt{(5/2)(5/2+1)} \hbar = (\sqrt{35}/2) \hbar = 2,96 \hbar$.
Bahndrehimpuls und Spin rotieren mit einem konstanten Phasenwinkel um die $z$- Achse. Die entsprechenden
Projektionen sind rechts in der Abbildung gezeigt. Alle L"angen in diesen Dreiecken sind bekannt.
Damit k"onnen die Winkel berechnet werden.
\vskip 9cm
Wir erhalten $\Theta_{1} = 45^{o}$
und $\Theta_{2} = 118^{o}$. Leider kann man in diesen Dreiecken nicht mehr die
Addition der z- Komponenten sehen. \newline
\newpage 
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
a) Das magnetische Moment bei der Addition von Bahndrehimpuls und Spin ist allgemein
\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = \frac{\mu_{B}}{\hbar} (g_{l} \vec{l} + g_{s} \vec{s})
\end{displaymath}
Mit $g_{l} = -1$ und $g_{s} = -2$ kann man beim Elektron also schreiben
\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = - \frac{\mu_{B}}{\hbar} (\vec{l} + 2 \vec{s})
\end{displaymath}
Zur Auswertung multiplizieren wir mit $\cdot \vec{j} (\vec{j}/|\vec{j}|^{2})$:
\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = \frac{\vec{\mu}_{j} \cdot \vec{j}}{|\vec{j}|^{2}} \vec{j}
= - \frac{\mu_{B}}{\hbar |\vec{j}|^{2}} (\vec{l} + 2 \vec{s})(\vec{l} + \vec{s}) \vec{j}
= - \frac{\mu_{B}}{\hbar |\vec{j}|^{2}} ( \vec{l}^{2} + 2 \vec{s}^{2} + 3 \vec{l} \cdot \vec{s}) \vec{j}
\end{displaymath}
Mit $2 \vec{l} \cdot \vec{s} = \vec{j}^{2} - \vec{l}^{2} - \vec{s}^{2}$ (siehe Skript Kap.9.4 Formel (40))
kann man dieses umschreiben in
\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = - \frac{\mu_{B}}{\hbar} \frac{(3 \vec{j}^{2} + \vec{s}^{2} - \vec{l}^{2})}
{2 |\vec{j}|^{2}} \vec{j}
\end{displaymath}
Einsetzen der m"oglichen Werte f"ur $\vec{j}^{2}$, $\vec{l}^{2}$ und $\vec{s}^{2}$ ergibt dann
\begin{displaymath}
\vec{\mu}_{j} = - \frac{\mu_{B}}{\hbar} \frac{3j(j+1) + s(s+1) - l(l+1)}{2j(j+1)} \vec{j}
= - \frac{\mu_{B}}{\hbar} \left( 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} \right) \vec{j}
\end{displaymath}
Vergleich mit $\vec{\mu}_{j} = g_{j} (\mu_{B}/\hbar) \vec{j}$ zeigt, da"s
\begin{displaymath}
g_{j} = - \left( 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} \right)
\end{displaymath}
sein mu"s. \newline
b) Die Feinstruktur- Niveaus $p_{3/2}$ und $p_{1/2}$ werden jetzt durch den anomalen Zeeman- Effekt
nochmals in 4 bzw 2 Niveaus aufgesplitted. \newline \vskip 5cm
Die Energien berechnen sich aus
\begin{displaymath}
E_{j, m_{j}} = E_{j} - \vec{\mu}_{j} \cdot \vec{B} =E_{j} - \frac{\mu_{B}}{\hbar} g_{j} \vec{j} \cdot \vec{B}
= E_{j} + \frac{\mu_{B}}{\hbar} |g_{j}| m_{j} \hbar B = E_{j} + \mu_{B} m_{j} |g_{j}| B.
\end{displaymath}
Aus der Formel von Teil a) erhalten wir $|g_{1/2}| = 2/3$ und $|g_{3/2}| = 4/3$. Das obere Niveau
des $p_{1/2}$ Zustandes ist dann mit $m_{j} = +1/2$
\begin{displaymath}
E_{1/2,m_{j}=1/2} = E_{1/2} + \frac{2}{3} \; \frac{1}{2} \mu_{B} B = E_{1/2} + \frac{1}{3} \mu_{B} B,
\end{displaymath}
das unterste Niveau des $p_{3/2}$ Zustandes entsprechend mit $m_{j}=-3/2$:
\begin{displaymath}
E_{3/2,m_{j}=-3/2} = E_{3/2} - \frac{3}{2} \; \frac{4}{3} \mu_{B} B = E_{3/2} - 2 \mu_{B} B.
\end{displaymath}
Beide Niveaus fallen zusammen, wenn
\begin{displaymath}
E_{1/2} + \frac{1}{3} \mu_{B} B = E_{3/2} - 2 \mu_{B} B
\end{displaymath}
Die daf"ur notwendige Magnetfeldst"arke ist mit $E_{3/2}-E_{1/2} = 2,1 \cdot 10^{-3} eV$:
\begin{displaymath}
B = \frac{3}{7} \frac{E_{3/2}-E_{1/2}}{\mu_{B}} = 15,5 \; T 
\end{displaymath}    
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Es handelt sich um die d- Schale, die maximal 10 Elektronen aufnehmen kann. Nach der
Hundschen Regel m\"ochten sich gerne alle Elektronen- Spins parallel einstellen. Dieses
ist im vorliegenden Fall m\"oglich, da bei Bahndrehimpuls $l=2$ f\"unf 
Quantisierungsm\"oglichten f\"ur $m_{l}$ vorhanden sind. Das Pauli- Prinzip ist also
erf\"ullt. \newline \vskip 4cm
Damit erhalten wir $M_{L} = \sum m_{l} = 0$. Eine erweiterte Regel von Hundt besagt, da"s 
im Grundzustand auch $L = |M_{L}|$ ist. In unserem Fall also $L = 0$. 
Der Gesamtspin ist $S = 5 \cdot 1/2 = 5/2$
und die Multiplizit\"at $2S+1 = 6$. Der Term- Typ ist also
\begin{displaymath}
^{2S+1}L_{S} = ^{6}S_{5/2}
\end{displaymath}
\end{document}
