Lösungen zur Übung Nr.6
Abgabetermin: Montag, d. 6. Juni 2005
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Hier muß man natürlich von der zeitabhängigen Schrödingergleichung ausgehen,
Die konjugiert komplexe Gleichung lautet:
Multiplakation der ersten Gleichung mit und der zweiten mit liefert die
beiden Gleichungen
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt
Das kann man auch schreiben als
Mit der Stromdichte
und der Dichte
folgt endlich
Aufgabe 2: (5 Punkte)
a) Wir schreiben den Kommutator
Mit dem Kommutator
(siehe Skript Kap. 8.5, Formel (42)) folgt:
Damit können wir den Erwartungswert schreiben als
Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, daß hermitesch ist.
Wegen
und auch
folgt schliesslich
b) Das Dipolmoment ist
, der Erwartungswert also
Mit der Variablensubstitution
folgt auch
und
Aus
folgt aber .
Aufgabe 3: (5 Punkte)
a) Die Wellenfunktion im Grundzustand ist nach Skript
die Wahrscheinlichkeitsdichte ist
und die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Volumenelement anzutreffen, ist
Wir integrieren über und und erhalten
Das Maximum finden wir aus der Extremalbedingung
zu .
b) Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte einer zufälligen Veränderlichen ist, dann ist
der Erwartungswert durch
gegeben. In unserem Fall also
Die Integration entnehmen wir einer Integraltafel (Bronstein),
oder als bestimmtes Integral:
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Wir hatten in der Vorlesung bereits die Gleichung
In der Mathematik nennt man sowas eine Eigenwertgleichung. ist der Eigenwert und
die Eigenfunktion zum Operator
.
In der Quantenmechanik kann mann jede messbare Grösse durch einen Operator darstellen.
Dieser Operator, angewandt auf die Wellenfunktion, ergibt dann den Wert dieser messbaren
Grösse. In unserem Fall ist einfach
Vergleich mit der obigen Eigenwertgleichung zeigt, dass
.
b) Entsprechend zu Teil a) muss es auch einen Operator für das Quadrat
des Bahndrehimpulses geben. Man könnte ihn, wie in der Vorlesung
angegeben, mit den Formeln
und
berechnen. Dieses ist aber
ziemlich rechenaufwendig. Einfacher erhalten wir diesen Operator, wenn wir die Schrödingergleichung
in Polarkoordinaten (siehe Kap.7.4, Formel (26))
mit der Gleichung für den Radialanteil R(r) (siehe Kap.7.4, Formel (38))
vergleichen. Wir multiplizieren die letzte Gleichung mit
(beachte:
) und
setzen
(siehe oben). Dann folgt
Vergleich mit der obigen Schrödingergleichung zeigt, dass
sein muss. Im Teil 8, Kap.9.1 Formel (7), ist dieser Operator angegeben, kann also ohne Beweis
übernommen werden.
Wir setzen jetzt
, d.h.
und rechnen aus:
Der Bahndrehimpuls des Zustandes ist also
und die Quantenzahl ergibt sich aus
zu .
Harm Fesefeldt
2005-06-14