Lösungen zur Übung Nr.3

Abgabetermin: Montag, d. 9. Mai 2005

Aufgabe 1
Im allgemeinen findet man in der Literatur Herleitungen über die Wellenzahlen $\vec{k}$. Man kann das allerdings auch im normalen Ortsraum herleiten. Im folgenden zeigen wir eine Kurzform der Herleitung aus dem Buch von Hänsel und Neumann (Spectrum- Verlag). Wir betrachten einen kantenförmigen Hohlraum mit Kantenlänge $a$. Die Bedingung für eine stehende Welle ist:

$$a = m_{x} \frac{\lambda}{2 cos\alpha} = m_{y} \frac{\lambda}{2 cos\beta} = m_{z} \frac{\lambda}{2 cos\gamma},$$

wobei $\alpha$, $\beta$, und $\gamma$ die Richtungswinkel sind. Daraus folgt

$$\frac{4 a^{2}}{\lambda^{2}}(cos^{2}\alpha + cos^{2}\beta + cos^{2}\gamma ) = m_{x}^{2} + m_{y}^{2} + m_{z}^{2}.$$

Wegen $cos^{2}\alpha + cos^{2}\beta + cos^{2}\gamma = 1$ und $\lambda = c/\nu$ folgt

$$\frac{4 \nu^{2}}{c^{2}} a^{2} = m_{x}^{2} + m_{y}^{2} + m_{z}^{2}.$$

Dieses ist die Gleichung einer Kugel mit Radius $R = 2 a \nu / c$. In der Näherung grosser Dichten ist die Anzahl der Moden gleich dem Volumen dieser Kugel, allerdings nur ein Achtel davon, da $m_{x} > 0, m_{y} > 0, m_{z} > 0$ sein sollte.

$$N = \frac{1}{8} \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \pi \frac{a^{3} \nu^{3}}{c^{3}}$$

Die Modendichte ist dann

$$\frac{1}{a^{3}} \frac{dN}{d\nu} = \frac{4 \pi \nu^{2}}{c^{3}}.$$

Beachtet man noch zwei Polarisationsrichtungen, so folgt endlich

$$u_{\nu} = \frac{8 \pi \nu^{2}}{c^{3}}.$$

b) Wir setzen $x = 1/kT$ und $Z = \sum_{n} e^{-E_{n} x}$, dann ist

$$<E> = - \frac{d(lnZ)}{dx}$$

Mit $E_{n} = n h \nu$ kann man schreiben

$$Z = \sum_{n} e^{-n h \nu x} = \sum_{n} \left( e^{-h\nu x} \right)^{n} = \frac{1}{1 - e^{-h\nu x}}.$$

Der in der Mitte stehende Summe ist nämlich die geometrische Reihe. Wir bilden jetzt den Logarithmus von $Z$ und bilden die Ableitung nach $x$:

$$ln(Z) = - ln \left( 1 - e^{-h\nu x} \right)$$

$$- \frac{d ln(Z)}{dx} = \frac{h \nu e^{-h \nu x}}{1 - e^{-h \nu x}} = \frac{h \nu}{e^{+h\nu x} -1}.$$

Also ist

$$<E> = \frac{h\nu}{e^{h\nu /kT} - 1}.$$

Aufgabe 2:
a) Alle Strahlung, die in eine Fläche $A_{E}$ auf der Erde fällt, kommt aus einer Fäche $A_{S}$ von der Sonnenoberfläche. Aus der Geometrie des Problems folgt $A_{S}/A_{E} = (R_{S}/R_{E})^{2}$. Hierbei ist $R_{S}$ der Radius der Sonne und $R_{E}$ der Abstand der Erde vom Sonnenmittelpunkt. Die Leistungsbilanz ist

$$u_{E} A_{E} = u_{S} A_{S}$$

wobei $u_{E} = 1,37 \; kJ \cdot m^{-2} s^{-1}$ die gemessene Energiestromdichte auf der Erde ist. Daraus folgt

$$u_{E} = \frac{A_{S}}{A_{E}} u_{S} = \left( \frac{R_{S}}{R_{E}} \right)^{2} \sigma T^{4}.$$

Mit $R_{S} = 7 \cdot 10^{8} m$, $R_{E} = 15 \cdot 10^{10} m$ und $\sigma = 5,6 \cdot 10^{-8} W \cdot m^{-2} K^{-4}$ folgt $T^{4} = 1,12 \cdot 10^{15} \; K^{4}$ und $T = 5785 \; K$.
b) Die gesamte absgestrahlte Energie in der Zeit $\Delta t$ ist

$$E = u_{S} A \Delta t$$

mit der Oberfläche $A = 4 \pi R_{S}^{2}$ der Sonne. Dann gilt die Energiebilanz

$$\Delta M c^{2} = \sigma T^{4} 4 \pi R_{S}^{2} \Delta t$$

Mit $\Delta t = 86400 \; s$ und $T = 5800 \; K$ folgt $\Delta m = 3,74 \cdot 10^{14} \; kg$. Dieses Wert scheint zunächst unheimlich groß zu sein. Fragt man sich allerdings, in wie vielen Jahren die Masse um $1\%$ abgenommen hat, so kommt man bei der Masse der Sonne von $M_{S} = 2 \cdot 10^{30} \; kg$ auf den beruhigenden Wert von etwa $10^{11}$ Jahren.
Aufgabe 3:
a) Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ist

$$\frac{df}{dv} = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^{2}/2 k T}.$$

Die Transformation auf die Wellenlänge $\lambda$ lautet:

$$\frac{df}{d\lambda} = \frac{df}{dv} \cdot \vert \frac{dv}{d\lambda} \vert$$

Den letzten Faktor nennt man auch Jakobi- Determinante. Wegen $p = h/\lambda = m v$ gilt $v = h/(m \lambda )$ und $\vert dv/d\lambda\vert = h/(m \lambda^{2})$. Einsetzen in die obige Formel führt auf

$$\frac{df}{d\lambda} = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \righ... ...ac{h^{3}}{m^{3} \lambda^{4}} e^{-h^{2}/(2 m \lambda^{2} k T)}.$$

b) Das Maximum dieser Verteilung erhält man aus der Bedingung

$$\frac{d}{d\lambda} \left( \frac{df}{d\lambda} \right) = 0.$$

Nach einer kleinen Rechnung folgt:

$$\lambda_{max} = \frac{h}{2 \sqrt{m k T}} = 0,9 \; A.$$

Wenn man zunächst den wahrscheinlichsten Wert der Geschwindigkeit berechnet oder die Jakobi- Determinante vergisst, erhält man

$$v_{max} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}}$$

Rechnet man für diesen Wert die de-Broglie Wellenlänge aus, erhält man

$$\lambda_{max}' = \frac{h}{m v_{max}} = \frac{h}{\sqrt{2 m k T}}.$$

$\lambda_{max}$ und $\lambda_{max}'$ sind offensichtlich nicht identisch, sie unterscheiden sich voneinander durch einen Faktor $\sqrt{2}$.
Aufgabe 4:
a) Bei einer Emissionsdauer von $\Delta \tau$ hat das Photon eine Länge von $\Delta x = c \Delta \tau = 3 \; m$.
b) Aus $\lambda = h/p$ rechnen wir aus, daß

$$\Delta \lambda = \frac{h}{p^{2}} \Delta p = \frac{h}{p^{2} c} \Delta E.$$

$\Delta \tau$ ist offensichtlich die volle Breite in der Unschärfe. Daher schreiben wir $\Delta E = \hbar / \Delta \tau)$:

$$\Delta \lambda = \frac{h}{p^{2}c} \frac{\hbar}{\Delta \tau} ... ...\lambda^{2}}{2 \pi c \Delta \tau} = 0,16 \cdot 10^{-4} \; nm.$$

Nach unser Herleitung ist dieses die halbe Breite (Standardabweichung) der Unschärfe.
Bemerkung: Die Unschärferelationen verbinden Grössen miteinander, die sonst nicht miteinander verbunden sind. Die Unschärfe (Fehler) abhängiger Grössen muss natürlich weiterhin mit der normalen Fehlerrechnung behandelt werden.
Zusatzaufgabe in der Übungsstunde (siehe auch Aufgabe 3)
Zeigen Sie, daß die Maxima der spektralen Energiedichten $\rho_{\lambda}$ und $\rho_{\nu}$ bei verschiedenen Wellenlängen liegen.
Lösung
Das Integral über $\rho_{\nu}(\nu)$ und $\rho_{\lambda}(\lambda)$ muß gleich sein,

$$\int \rho_{\lambda}(\lambda) d\lambda = \int \rho_{\nu}(\nu) d\nu$$

Daraus folgt

$$\rho_{\lambda} d\lambda = \rho_{\nu} d\nu$$

und (siehe auch Aufgabe 3)

$$\rho_{\lambda} = \rho_{\nu} \frac{d\nu}{d\lambda}$$

Wir schreiben die Energiedichte in der Form

$$\rho_{\nu} = \nu^{3} f(\frac{\nu}{T}).$$

Dann gilt

$$\frac{d\rho_{\nu}}{d\nu} = 3 \nu^{2} f(\frac{\nu}{T}) + \frac{\nu^{3}}{T} f'(\frac{\nu}{T}).$$

Bedingung für Maximum ist $d\rho_{\nu}/d\nu = 0$, daraus folgt

$$3 f(\frac{\nu}{T}) + \frac{\nu}{T} f'(\frac{\nu}{T}) = 0.$$

Setzen wir hier jetzt die Wellenlänge mit $\nu = c/\lambda$ ein so erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für $\lambda_{max}$:

$$3 f(\frac{c}{\lambda T}) + \frac{c}{\lambda T} f'(\frac{c}{\lambda T}) = 0.$$

Die Energiedichte $\rho_{\lambda}$ bekommen wir mit $d\nu/d\lambda = c/\lambda^{2}$ zu

$$\rho_{\lambda} = \frac{c^{4}}{\lambda^{5}} f(\frac{c}{\lambda T}).$$

Wir bilden die Ableitung und setzen diese gleich Null:

$$\frac{d\rho_{\lambda}}{d\lambda} = - \frac{5c^{4}}{\lambda^{... ...a T}) - \frac{c^{5}}{\lambda^{7}T} f'(\frac{c}{\lambda T}) = 0$$

Dann erhalten wir eine zweite Bestimmungsgleichung für $\lambda_{max}$:

$$5 f(\frac{c}{\lambda T}) + \frac{c}{\lambda T} f'(\frac{c}{\lambda T}) = 0.$$

Diese unterscheidet sich von der ersten Bestimmungsgleichung durch einen Faktor 5 statt einem Faktor 3 vor dem ersten Term. Daher sind die beiden Lösungen nicht identisch.