Lösungen zur Übung Nr.2

Abgabetermin: Montag, d. 2. Mai 2005

Aufgabe 1
Die Impulsänderung der $dN$ Photonen ist

$$dp = K \frac{h}{\lambda} dN,$$

wobei $K=1$ für eine total absorbierende und $K=2$ für eine total reflektierende Fläche ist. Der Druck $P$ ist

$$P = \frac{F}{A} = \frac{1}{A} \frac{dp}{dt} = \frac{K}{A} \frac{h}{\lambda} \frac{dN}{dt}$$

Auf der anderen Seite ist die Intensität durch

$$I = \frac{1}{A} \frac{dE}{dt} = \frac{h\nu}{A} \frac{dN}{dt}$$

gegeben. Eliminieren von $dN/dt$ in den letzten beiden Gleichungen ergibt dann

$$P = K \frac{h}{\lambda} \frac{I}{h\nu} = K \frac{I}{c}$$

Aufgabe 2:
a) Die Änderung der Photonenenergie muss gleich der vom Gravitationsfeld geleisteten Arbeit sein, daher

$$h d\nu = - \gamma \frac{m_{ph} M}{r^{2}} dr$$

Mit $m_{ph} = h\nu/c^{2}$ folgt

$$\frac{d\nu}{\nu} = - \gamma \frac{M}{c^{2}r^{2}} dr$$

Die Integration ergibt

$$ln \left( \frac{\nu}{\nu_{0}} \right) = \frac{\gamma M}{c^{2}} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_{0}} \right)$$

mit dem Radius $R_{0}$ der Sonne und dem Abstand $R$ von Sonne und Erde. Da $R_{0} \ll R$, kann man schreiben:

$$ln \left( \frac{\nu}{\nu_{0}} \right) = - \gamma \frac{M}{c^{2} R_{0}}$$

Umformen nach der Wellenlänge und Reihenentwicklung ergibt

$$\frac{\nu_{0}}{\nu} = e^{\gamma M/(c^{2}R_{0})} = \frac{\lambda}{\lambda_{0}} = 1 + \gamma \frac{M}{c^{2} R_{0}}$$

und daher

$$\frac{\lambda}{\lambda_{0}} - 1 = \frac{\lambda - \lambda_{0... ...ac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}} = \gamma \frac{M}{c^{2} R_{0}}$$

Einsetzen der Zahlenwerte, $M = 1,97 \cdot 10^{30} \; kg$, $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \; m^{3} kg \; s^{-2}$ und $R_{0} = 7 \cdot 10^{8} \; m$ ergibt dann $\Delta \lambda / \lambda = 2,1 \cdot 10^{-6}$.
b) Die Wellenlängenverschiebung verschwindet, wenn der Stern sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf uns zubewegt. Dank des Dopplereffektes kann die Wellenlängenänderung gerade wieder kompensiert werden. Bei der Sonne kann das nicht passieren, aber bei einigen Sternen kommt das offensichtlich vor.
Aufgabe 3:
Die $N =25$ Photonen, die auf die Kathode fallen, sind unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit für die Erzeugung eines Photoelektrons ist für jedes Photon durch $p = 0,2$ gegeben. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von $n$ Photoelektronen durch die Binominalverteilung

$$P(N;n) = \left( \begin{tabular}{c} $N$\ \\ $n$\ \end{tabular} \right) p^{n} (1-p)^{N-n}$$

gegeben. Für kleine Werte von $p$ kann man die Poissonsche Näherung

$$P(N; n; p \ll 1) \approx \frac{(N p)^{n}}{n !} e^{-Np}$$

verwenden. In unserer Aufgabe ist diese Näherung allerdings nicht anwendbar. Da in der Binominalverteilung extrem hohe Potenzen auftreten können, rechnet man am besten zunächst den Logarithmus von $P$ aus:

$$ln(P) = ln (N!) - ln(n!) - ln((N-n)!) + n \; ln(p) + (N-n) ln(1-p)$$

und berechnet dann $P$ durch die Exponentialfunktion. Kein Puls wird nach Aufgabenstellung für $n=0$ und $n=1$ erzeugt, daher

$$P(25;0) + P(25;1) = 0,0037 + 0,0236 = 0,0273.$$

Aufgabe 4:
a) Die allgemeine Formel der Bragg- Reflexion ist $2d \; sin\theta = n \lambda$, wobei $d$ der Abstand der Gitterebenen, $\theta$ der Glanzwinkel und $n$ die Ordnung ist. In erster Ordnung ist also $d = \lambda/ 2 sin\theta = 2,78 \; A$. Diese Lösung entspricht dem Fall, daß der an der zweiten Ebene reflektierte Strahl um genau ein Wellenlenänge phasenverschoben ist.
b) Das zweite Maximum bei sonst gleichen Bedingungen wie in a) beobachtet man in der Simulation bei etwa $50^{o}$. Dieses ist offensichtlich der Glanzwinkel zweiter Ordnung ($n = 2$). Dieser ist $sin\theta = \lambda / d = 0,755$ und $\theta = 49^{o}$. Weitere Ordnungen sind in diesem Fall nicht möglich, da z.B. für $n = 3$ folgt: $sin\theta = (3/2) \lambda / d = 1,13$.
c) Allgemein ist $N_{L} = A/(\rho V)$, wobei $A$ das Atomgewicht und $V$ das Volumen des Moleküls ist. Für $NaCl$ ist $\rho = 2,1 \; gr/cm^{3}$ und $A=58,5 \; gr$.Rechnet man mit dem Kugelvolumen $V = 2 (4/3) \pi r^{3} = (1/3) \pi d^{3}$, so erhält man $N_{L} \approx 12 \cdot 10^{23}$, offensichtlich einen Faktor 2 zu groß. Den richtigen Wert erhält man mit dem Quadervolumen $V = 2 d^{3}$, nämlich $N_{L} \approx 6 \cdot 10^{23}$.