\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr.2}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 2. Mai 2005}
{\bf Aufgabe 1} \newline
Die Impuls\"anderung der $dN$ Photonen ist
\begin{displaymath}
dp = K \frac{h}{\lambda} dN,
\end{displaymath}
wobei $K=1$ f\"ur eine total absorbierende und $K=2$ f\"ur eine total reflektierende
Fl\"ache ist. Der Druck $P$ ist
\begin{displaymath}
P = \frac{F}{A} = \frac{1}{A} \frac{dp}{dt} = \frac{K}{A} \frac{h}{\lambda} \frac{dN}{dt}
\end{displaymath}
Auf der anderen Seite ist die Intensit\"at durch
\begin{displaymath}
I = \frac{1}{A} \frac{dE}{dt} = \frac{h\nu}{A} \frac{dN}{dt}
\end{displaymath}
gegeben. Eliminieren von $dN/dt$ in den letzten beiden Gleichungen
ergibt dann
\begin{displaymath}
P = K \frac{h}{\lambda} \frac{I}{h\nu} = K \frac{I}{c}
\end{displaymath}
{\bf Aufgabe 2:} \newline
a) Die \"Anderung der Photonenenergie muss gleich der vom Gravitationsfeld geleisteten
Arbeit sein, daher 
\begin{displaymath}
h d\nu = - \gamma \frac{m_{ph} M}{r^{2}} dr
\end{displaymath}
Mit $m_{ph} = h\nu/c^{2}$ folgt
\begin{displaymath}
\frac{d\nu}{\nu} = - \gamma \frac{M}{c^{2}r^{2}} dr
\end{displaymath}
Die Integration ergibt
\begin{displaymath}
ln \left( \frac{\nu}{\nu_{0}} \right) = \frac{\gamma M}{c^{2}} 
\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_{0}} \right)
\end{displaymath}
mit dem Radius $R_{0}$ der Sonne und dem Abstand $R$ von Sonne und Erde. Da $R_{0} \ll R$,
kann man schreiben:
\begin{displaymath}
ln \left( \frac{\nu}{\nu_{0}} \right) = - \gamma \frac{M}{c^{2} R_{0}}
\end{displaymath}
Umformen nach der Wellenl\"ange und Reihenentwicklung ergibt
\begin{displaymath}
\frac{\nu_{0}}{\nu} = e^{\gamma M/(c^{2}R_{0})} = \frac{\lambda}{\lambda_{0}}
= 1 + \gamma \frac{M}{c^{2} R_{0}}
\end{displaymath}
und daher
\begin{displaymath}
\frac{\lambda}{\lambda_{0}} - 1 = \frac{\lambda - \lambda_{0}}{\lambda_{0}}
= \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}} = \gamma \frac{M}{c^{2} R_{0}}
\end{displaymath}
Einsetzen der Zahlenwerte, $M = 1,97 \cdot 10^{30} \; kg$, 
$\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \; m^{3} kg \; s^{-2}$ und $R_{0} = 7 \cdot 10^{8} \; m$ ergibt dann
$\Delta \lambda / \lambda = 2,1 \cdot 10^{-6}$. \newline
b) Die Wellenl\"angenverschiebung verschwindet, wenn der Stern sich mit einer bestimmten
Geschwindigkeit auf uns zubewegt. Dank des Dopplereffektes kann die Wellenl\"angen\"anderung
gerade wieder kompensiert werden. Bei der Sonne kann das nicht passieren, aber bei einigen
Sternen kommt das offensichtlich vor. \newline
{\bf Aufgabe 3:} \newline
Die $N =25$ Photonen, die auf die Kathode fallen, sind unabh\"angig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit
f\"ur die Erzeugung eines Photoelektrons ist f\"ur jedes Photon durch $p = 0,2$ gegeben.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit f\"ur das Auftreten von $n$ Photoelektronen
durch die Binominalverteilung
\begin{displaymath}
P(N;n) = \left( \begin{tabular}{c} $N$ \\ $n$ \end{tabular} \right) p^{n} (1-p)^{N-n}
\end{displaymath}
gegeben. F\"ur kleine Werte von $p$ kann man die Poissonsche N\"aherung
\begin{displaymath}
P(N; n; p \ll 1) \approx \frac{(N p)^{n}}{n !} e^{-Np}
\end{displaymath}
verwenden. In unserer Aufgabe ist diese N\"aherung allerdings nicht anwendbar. 
Da in der Binominalverteilung extrem hohe Potenzen auftreten k\"onnen, rechnet man am besten
zun\"achst den Logarithmus von $P$ aus:
\begin{displaymath}
ln(P) = ln (N!) - ln(n!) - ln((N-n)!) + n \; ln(p) + (N-n) ln(1-p)
\end{displaymath}
und berechnet dann $P$ durch die Exponentialfunktion. 
Kein Puls wird nach Aufgabenstellung f\"ur $n=0$ und $n=1$ erzeugt, daher
\begin{displaymath}
P(25;0) + P(25;1) = 0,0037 + 0,0236 = 0,0273.
\end{displaymath}
{\bf Aufgabe 4:} \newline
a) Die allgemeine Formel der Bragg- Reflexion ist $2d \; sin\theta = n \lambda$, wobei
$d$ der Abstand der Gitterebenen, $\theta$ der Glanzwinkel und $n$ die Ordnung ist.
In erster Ordnung ist also $d = \lambda/ 2 sin\theta = 2,78 \; A$. Diese L\"osung entspricht
dem Fall, da"s der an der zweiten Ebene reflektierte Strahl um genau ein Wellenlen\"ange
phasenverschoben ist. \newline
b) Das zweite Maximum bei sonst gleichen Bedingungen wie in a) beobachtet man in der
Simulation bei etwa $50^{o}$. Dieses ist offensichtlich der Glanzwinkel zweiter Ordnung
($n = 2$). Dieser ist $sin\theta = \lambda / d = 0,755$ und $\theta = 49^{o}$. Weitere
Ordnungen sind in diesem Fall nicht m\"oglich, da z.B. f\"ur $n = 3$ folgt:
$sin\theta = (3/2) \lambda / d = 1,13$. \newline
c) Allgemein ist $N_{L} = A/(\rho V)$, wobei $A$ das Atomgewicht und $V$ das Volumen
des Molek\"uls ist. F\"ur $NaCl$ ist $\rho = 2,1 \; gr/cm^{3}$ und $A=58,5 \; gr$.Rechnet man
mit dem Kugelvolumen $V = 2 (4/3) \pi r^{3} = (1/3) \pi d^{3}$, so erh\"alt man
$N_{L} \approx 12 \cdot 10^{23}$, offensichtlich einen Faktor 2 zu gro"s. Den richtigen Wert
erh\"alt man mit dem Quadervolumen $V = 2 d^{3}$, n\"amlich $N_{L} \approx 6 \cdot 10^{23}$. 
\end{document}
