Übung Nr.1

Abgabetermin: Montag, d. 25. April 2005

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Wir schreiben die van der Waals- Gleichung in der Form

$$\left( p + \frac{a m^{2}}{V^{2}} \right) \left( V - mb \right) = n R T$$

wobei $n = m/m_{mol}$ die Anzahl der Mole ist und $m$ die Masse des Gases bezeichnet. Wir schreiben die Masse der Gase, um mit $V_{kr} = m/\rho_{kr}$ das kritische Volumen durch $m$ ausdrücken zu können. Der kritische Punkt ist bekanntlich der Punkt K, indem die Isotherme einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente hat. Wir schreiben $p$ als Funktion von $V$ und erhalten

$$p = \frac{n R T}{V - mb} - \frac{a m^{2}}{V}$$

Im kritischen Punkt gilt

$$\left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_{kr} = - \frac{n R T_{kr}}{(V-mb)^{2}} + \frac{2 a m^{2}}{V_{kr}^{3}} = 0$$

Da die Steigung der kritischen Isotherme in K auch noch das Vorzeichen wechselt, muß auch

$$\left( \frac{\partial^{2}p}{\partial V^{2}} \right)_{kr} = \... ...R T_{kr}}{(V_{kr}-mb)^{3}} - \frac{6 a m^{2}}{V_{kr}^{4}} = 0$$

gelten. Aus den letzten beiden Gleichungen erhält man $V_{kr} = 3 m b$. Mit $V_{kr} = m/\rho_{kr}$ gilt dann $b = 1/(3\rho_{kr})$. Das Korrekturglied $mb$ in der Gleichung ist das kleinste Volumen, daß das Gas einnehmen kann. Es ist ein gewisses Vielfaches des Eigenvolumens, $mb = x N (4/3)\pi R^{3}$ mit der Anzahl der Moleküle $N$. Die beste Beschreibung erhält man mit $x = 4$. Wir lassen den Faktor aber zunächst offen. Verwendet man $m/N = m_{mol}/N_{A}$, so folgt

$$R = \left( \frac{3b m_{mol}}{4 x \pi N_{A}} \right)^{1/3}$$

und damit

$$R = \left( \frac{m_{mol}}{4 x \pi N_{A} \rho_{kr}} \right)^{1/3}$$

Mit $m_{mol} = 39,9 \; gr/mol$ und $N_{A} = 6,022 \cdot 10^{23} \; mol^{-1}$ folgt

$$R = \frac{2,15 \cdot 10^{-8} \; cm}{x^{1/3}}.$$

Mit der Annahme $x = 4$ erhält man als Abschätzung: $R = 1,35 \cdot 10^{-8} \; cm$.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Dieses ist eine Literatur- Research Aufgabe und steht in jedem besseren Buch. Eine schöne Seite findet man im Internet hier, ein sehr schönes Java- Applet auf dieser Seite
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Wie in der Festkörperphysik üblich, legen wir den Nullpunkt der Energieskala auf den Boden des Potentials (Anfang des Leitungsbandes). Dann ist das Potential bis zur kinetischen Energie $E_{F}$ mit Elektronen aufgefüllt. Mit $n$ in der Formel für $E_{F}$ sind natürlich nur die Leitungselektronen gemeint, da die fest gebundenen Elektronen in diesem Problem keine Rolle spielen. Mit $n = N_{A} \rho/A$ und der Austrittsarbeit $W_{A}$ folgt

$$\chi = W_{A} + E_{F} = \frac{hc}{\lambda_{gr}} + \frac{h^{2}}{2m} \left( \frac{3 N_{A} \rho}{8 \pi A} \right)^{2/3}.$$

Mit $A = 39,1 \; gr \; mol^{-1}$ und $\rho = 0,86 \; gr/cm^{3}$ folgt: $\chi = 4,19 \; eV$.
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Die maximale Energie $E_{max}$ erhält das Elektron bei der Rückwärtsstreuung des Photons, also für $\varphi = 180^{o}$. Der Energiesatz für diesen speziellen Fall können wir schreiben als

$$h \nu = h \nu' + E_{max}$$

Also gilt:

$$h \nu' = h \nu - E_{max} = \Delta E = \frac{hc}{\lambda'}$$

und

$$\lambda = \lambda' - \frac{2h}{mc} = \frac{hc}{\Delta E} - \frac{2 h c}{m_{e} c^{2}} = 1,35 \cdot 10^{-3} \; nm.$$

Die Energie des Photoelektrons ist

$$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = 918 \; keV.$$

und die Maximalenergie der Rückstoßelektronen:

$$E_{max} = E_{ph} - \Delta E = 718 \; keV.$$

Ein Java Applet, daß solche Energiespektren simuliert, hat Torsten Franke in seiner Staatsexamensarbeit für das höhere Lehramt geschrieben. Nach dem Starten des Programms erscheint der experimentelle Aufbau. Von links nach rechts ist zunächst eine radioaktive Quelle, dann ein Kollimator zur Begrenzung des Photonenstrahls, gefolgt von einem Scintillationszähler. In diesem Material finden die Wechselwirkungen des Photons statt. Alternativ können Photoeffekt oder Comptoneffekt auftreten. Da der Zähler relativ groß ist, kann das gestreute Photon beim Comptoneffekt weitere Wechselwirkungen machen. Die erzeugten Elektronen werden abgebremst, wobei Scintillationslicht im sichtbaren Bereich entsteht. Dieses Licht wird durch Reflektionen auf einen ganz rechts angebrachten Photomultiplier gelenkt (im Applet nicht zu erkennen). Es entsteht also ein Puls, der der Energie der abgebremsten Elektronen proportional ist. Links oben im Applet- Fenster ist noch eine Lupe angebracht, mit der man die Wechselwirkung im Zoom betrachten kann. In einem weiteren aufklappbaren Fenster (VKA) werden die Energiespektren in einem Vielkanal- Analysator gezeigt. Den experimentellen Aufbau kann man im Fenster Aufbau verändern. Im Fenster Prozeßdaten werden Sie feststellen, daß die Elektronen noch weitere Prozesse mit der Materie des Scintillationszählers machen können. Die letzten beiden Menuepunkte ganz rechts (Totale WQ, Diff. WQ) dienen zur Darstellung der Wahrscheinlichten der Wechselwirkungen. Wir haben in der Vorlesung bis jetzt nur die reine Kinematik der Prozesse gelernt (Energie- und Impulserhaltung). Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit zum Beispiel, mit der ein Photon unter einem bestimmten Winkel $\varphi$ gestreut wird, kann erst in der Quantenelektrodynamik und Teilchenphysik beantwortet werden.