\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.1}
\normalsize
\centerline{\bf Abgabetermin: Montag, d. 25. April 2005}
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Wir schreiben die van der Waals- Gleichung in der Form
\begin{displaymath}
\left( p + \frac{a m^{2}}{V^{2}} \right) \left( V - mb \right) = n R T
\end{displaymath}
wobei $n = m/m_{mol}$ die Anzahl der Mole ist und $m$ die Masse des Gases bezeichnet. Wir schreiben
die Masse der Gase, um mit $V_{kr} = m/\rho_{kr}$ das kritische Volumen durch $m$ ausdr\"ucken zu
k"onnen. Der kritische Punkt ist bekanntlich der Punkt K, indem die Isotherme einen Wendepunkt
mit horizontaler Tangente hat. Wir schreiben $p$ als Funktion von $V$ und erhalten
\begin{displaymath}
p = \frac{n R T}{V - mb} - \frac{a m^{2}}{V}
\end{displaymath}
Im kritischen Punkt gilt
\begin{displaymath}
\left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_{kr} = - \frac{n R T_{kr}}{(V-mb)^{2}} +
\frac{2 a m^{2}}{V_{kr}^{3}} = 0
\end{displaymath}
Da die Steigung der kritischen Isotherme in K auch noch das Vorzeichen wechselt, mu"s auch
\begin{displaymath}
\left( \frac{\partial^{2}p}{\partial V^{2}} \right)_{kr} = \frac{2n R T_{kr}}{(V_{kr}-mb)^{3}} 
- \frac{6 a m^{2}}{V_{kr}^{4}}  = 0
\end{displaymath}
gelten. Aus den letzten beiden Gleichungen erh"alt man $V_{kr} = 3 m b$. Mit $V_{kr} = m/\rho_{kr}$ gilt dann
$b = 1/(3\rho_{kr})$. Das Korrekturglied $mb$ in der Gleichung ist das kleinste Volumen, da"s das Gas
einnehmen kann. Es ist ein gewisses Vielfaches des Eigenvolumens, $mb = x N (4/3)\pi R^{3}$ mit 
der Anzahl der Molek"ule $N$. Die beste Beschreibung erh"alt man mit $x = 4$. 
Wir lassen den Faktor aber zun"achst offen. Verwendet man $m/N = m_{mol}/N_{A}$, so folgt
\begin{displaymath}
R = \left( \frac{3b m_{mol}}{4 x \pi N_{A}} \right)^{1/3}
\end{displaymath}
und damit 
\begin{displaymath}
R = \left( \frac{m_{mol}}{4 x \pi N_{A} \rho_{kr}} \right)^{1/3}
\end{displaymath}
Mit $m_{mol} = 39,9 \; gr/mol$ und $N_{A} = 6,022 \cdot 10^{23} \; mol^{-1}$ folgt
\begin{displaymath}
R = \frac{2,15 \cdot 10^{-8} \; cm}{x^{1/3}}.
\end{displaymath}
Mit der Annahme $x=4$ erh"alt man als Absch"atzung: $R = 1,35 \cdot 10^{-8} \; cm$.
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Dieses ist eine Literatur- Research Aufgabe und steht in jedem besseren Buch.
Eine sch"one Seite findet man im Internet bei \newline
\it http://home.wtal.de/i-jandt/Physik/Millikan/Millikan.html, \rm \newline
ein sehr sch"ones Java- Applet auf der Seite \newline
\it www.goethe.lb.bw.schule.de/ physik/physik-12/0282-millikan-applet-2/ \rm
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Wie in der Festk\"orperphysik "ublich, legen wir den Nullpunkt der Energieskala auf den
Boden des Potentials (Anfang des Leitungsbandes). Dann ist das Potential bis zur kinetischen
Energie $E_{F}$ mit Elektronen aufgef"ullt. Mit $n$ in der Formel f"ur
$E_{F}$ sind nat"urlich nur die Leitungselektronen gemeint, da die fest gebundenen
Elektronen in diesem Problem keine Rolle spielen.
Mit $n = N_{A} \rho/A $ und der Austrittsarbeit $W_{A}$ folgt
\begin{displaymath}
\chi = W_{A} + E_{F} = \frac{hc}{\lambda_{gr}} + \frac{h^{2}}{2m} 
\left( \frac{3 N_{A} \rho}{8 \pi A} \right)^{2/3}.
\end{displaymath}
Mit $A = 39,1 \; gr \; mol^{-1}$ und $\rho = 0,86 \; gr/cm^{3}$ folgt: $\chi = 4,19 \; eV$.
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Die maximale Energie $E_{max}$ erh"alt das Elektron bei der R"uckw"artsstreuung des Photons, 
also f"ur $\varphi = 180^{o}$. Der Energiesatz f"ur diesen speziellen Fall k"onnen wir schreiben als
\begin{displaymath}
h \nu = h \nu' + E_{max} 
\end{displaymath}
Also gilt:
\begin{displaymath}
h \nu' = h \nu - E_{max} = \Delta E = \frac{hc}{\lambda'}
\end{displaymath}
und 
\begin{displaymath}
\lambda = \lambda' - \frac{2h}{mc} = \frac{hc}{\Delta E} - \frac{2 h c}{m_{e} c^{2}}
= 1,35 \cdot 10^{-3} \; nm.
\end{displaymath}
Die Energie des Photoelektrons ist
\begin{displaymath}
E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = 918 \; keV.
\end{displaymath}
und die Maximalenergie der R"ucksto"selektronen:
\begin{displaymath}
E_{max} = E_{ph} - \Delta E = 718 \; keV.
\end{displaymath} 
Ein {\bf Java Applet}, da"s solche Energiespektren simuliert, hat Torsten Franke in seiner
Staatsexamensarbeit f"ur das h"ohere Lehramt geschrieben. Nach dem Starten des Programms
erscheint der experimentelle Aufbau. Von links nach rechts ist zun"achst eine radioaktive
Quelle, dann ein Kollimator zur Begrenzung des Photonenstrahls, gefolgt von einem
Scintillationsz"ahler. In diesem Material finden die Wechselwirkungen des Photons statt.
Alternativ k"onnen Photoeffekt oder Comptoneffekt auftreten. Da der Z"ahler relativ gro"s ist,
kann das gestreute Photon beim Comptoneffekt weitere Wechselwirkungen machen. Die erzeugten Elektronen
werden abgebremst, wobei Scintillationslicht im sichtbaren Bereich entsteht. Dieses Licht
wird durch Reflektionen auf einen ganz rechts angebrachten Photomultiplier gelenkt (im Applet
nicht zu erkennen). Es entsteht
also ein Puls, der der Energie der abgebremsten Elektronen proportional ist. Links oben im 
Applet- Fenster ist noch eine Lupe angebracht, mit der man die Wechselwirkung im Zoom betrachten
kann. In einem weiteren aufklappbaren Fenster ({\bf VKA}) werden die Energiespektren
in einem Vielkanal- Analysator gezeigt. Den experimentellen Aufbau kann man im Fenster {\bf Aufbau}
ver"andern. Im Fenster {\bf Proze"sdaten} werden Sie feststellen, da"s die Elektronen noch weitere
Prozesse mit der Materie des Scintillationsz"ahlers machen k"onnen. Die letzten beiden Menuepunkte
ganz rechts ({\bf Totale WQ, Diff. WQ}) dienen zur Darstellung der Wahrscheinlichten der 
Wechselwirkungen. Wir haben in der Vorlesung bis jetzt nur die reine Kinematik der Prozesse
gelernt (Energie- und Impulserhaltung). Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit zum Beispiel, 
mit der ein Photon unter einem bestimmten Winkel $\varphi$ gestreut wird, 
kann erst in der Quantenelektrodynamik und Teilchenphysik  beantwortet werden. 
\end{document}
