I Grundlagen der paraxialen Matrizen- Optik
Dr. Harm Fesefeldt, RWTH Aachen

In der Vorlesung werden die Formeln für Reflexion und Brechung an geraden und gekrümmten Flächen diskutiert. Es zeigt sich dabei, daß es ausgesprochen mühsam und unübersichtlich ist, mit Hilfe dieser Formeln die Abbildungsgesetze für kompliziertere optische Systeme herzuleiten und zu diskutieren. In dieser Übung wollen wir ein mathematisches Verfahren kennenlernen, mit dessen Hilfe man in einfacher Weise die kompliziertesten optischen Systeme studieren kann. Dieses Verfahren eignet sich insbesondere für Anwendungen auf Rechenanlagen und ist daher gerade in den letzten Jahrzehnten außerordentlich gut ausgearbeitet worden. Wir beschränken uns hier auf die paraxiale Optik, d.h. wir betrachten nur Lichtstrahlen, die nahe zur optischen Achse verlaufen und deren Winkel mit der optischen Achse klein sind. Wir wählen die $z$- Achse als optische Achse und bezeichnen mit $r$ den Abstand eines Punktes von der $z$- Achse. In der paraxialen Optik verlaufen alle Lichtstrahlen in einer Ebene durch die optische Achse. Der Abstand $r$ liege genau in dieser Ebene. Wir definieren einen zweidimensionalen Vektor $\vec{q}$, dessen Komponenten einmal der Abstand $r$, und zum anderen die Richtung $r'=dr/d\vert z\vert$ bezüglich der optischen Achse sind, d.h.

$$\vec{q} = \left( \begin{array}{c} r \\ r' \end{array} \right... ... \begin{array}{c} r(z) \\ dr/d\vert z\vert \end{array} \right)$$ (1)

In der paraxialen Optik gilt die Näherung $r'=dr/d\vert z\vert=tan \theta \approx sin \theta \approx \theta$, wobei $\theta$ der Winkel des Lichtstrahls mit der optischen Achse ist. Die geradliniege Bewegung eines Lichtstrahls $n$ von Punkt $z_{1}$ bis zum Punkt $z_{2}$ läßt sich darstellen durch die Transformation (siehe Abbildung oben):

$$r_{2} = r_{1} + d \cdot r_{1}'$$

$$r_{2}' = r_{1}',$$

wobei $d=\vert z_{2}-z_{1}\vert$ die Länge der Strecke ist. Eine Translation ändert natürlich nicht die Steigung, bzw den Winkel des Lichtstrahls mit der optischen Achse, sondern nur den Abstand $r$. Diese Translation kann auch mit Hilfe einer Matrizen- Gleichung in der folgenden Form geschrieben werden:

$$T : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right).$$ (2)

Die Matrix selbst nennt man die Translationsmatrix $T$ oder auch $T_{21}$, um anzudeuten, daß eine Transformation vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{2}$ durchzuführen ist.
Als nächstes diskutieren wir die Reflexion eines Lichtstrahls an einer sphärischen Begrenzung. Hierbei ändert sich nicht der Abstand zur optischen Achse, sondern nur die Richtung bzw der Winkel des Strahls mit der optischen Achse. In Matrizen- Schreibweise gilt dann:

$$R : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ...t) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array}\right).$$ (3)

Der Krümmungsradius $R$ kann hierbei positiv oder negativ sein, je nachdem ob die gekrümmte Fläche dem Lichtstrahl konvex oder konkav erscheint. (siehe nachstehende Skizze). Die Matrix $R$ ist die Reflexionsmatrix. Man schreibt hierfür auch $R_{21}$, um anzudeuten, daß eine Reflexion an der Trennfläche von Medium 1 und Medium 2 stattgefunden hat.

Als letzte Transformation benötigen wir noch die Brechung an Begrenzungsflächen zwischen zwei Medien. Diese ist gegeben durch

$$B : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ...) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (4)

Die Vorzeichenkonvention für $R$ ist die gleiche wie bei der Reflexion.
Die hier definierte Vorzeichenkonvention ist leider nicht eindeutig in verschiedenen literarischen Darstellungen der Matrizen- Optik. Wir widerholen daher unsere Vorzeichenkonvention noch einmal:
$R$ ist positiv, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konvex ist, $R$ ist negativ, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konkav ist. Im übrigen ist es empfehlenswert, die Vorzeichen von $R$ bereits bei der Aufstellung der Transformationen einzusetzen, sodaß in den Rechnungen selbst $R$ stets positiv ist.
Schließlich sollte noch erwähnt werden, daß die Transformationen der Brechung und Reflexion auch für den Grenzfall $R \to \infty$ gelten, d.h. auch für ebene Begrenzungsflächen gültig sind.
Durch Mehrfachanwendung kann man mit Hilfe dieser drei Transformationen beliebig komplizierte Systeme zusammensetzen. Wir demonstrieren das Verfahren an einigen einfachen Beispielen.
Beispiel 1: Das erste Beispiel soll noch einmal zeigen, daß das Brechungsgesetz durch diese Transformationen richtig beschrieben wird.

Die Transformation besteht aus 3 Schritten. Zunächst führen wir eine Translation vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{0}$, der $z$- Koordinate der Begrenzungsfläche. Schließlich führt eine weitere Translation zum Punkt $z_{2}$. Man beachte, daß bei der Brechung in diesem Fall $-(n_{2}-n_{1})/(n_{2} R) \to 0$, da $R \to \infty$.

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ...M \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (5)

wobei $d_{1} = \vert z_{0}-z_{1}\vert$ und $d_{2} = \vert z_{2} - z_{0}\vert$. Ausmultiplizieren der Matrizen führt dann auf:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1}+ d_{2} n_{1}/n_{2} \\ 0 & n_{1}/n_{2} \end{array} \right)$$ (6)

Die Transformation lautet ausgeschrieben:

$$r_{2} = r_{1} + \frac{n_{2} d_{1} + n_{1} d_{2}}{n_{2}} r_{1}'$$ (7)

$$r_{2}' = (n_{1}/n_{2}) r_{1}'$$ (8)

Da $r_{2}' = tan \theta_{2} \approx sin \theta_{2}$ und $r_{1}' = tan \theta_{1} \approx sin \theta_{1}$, folgt aus der zweiten Gleichung

$$n_{2} sin\theta_{2} = n_{1} sin\theta_{1},$$ (9)

also das uns bekannte Brechungsgesetz.
Aufgabe 1:
Zeigen Sie die Gültigkeit des Reflexionsgesetzes an einer ebenen Begrenzungsfläche mit Hilfe der paraxialen Matrizen- Optik.
Beispiel 2:
Unser zweites Beispiel behandelt die Reflexion an einer sphärischen Kugelfläche.

Wir setzen $d_{1} = \vert z_{0}-z_{1}\vert$ und $d_{2} = \vert z_{2} - z_{0}\vert$. Die Transformation lautet (man beachte $R<0$, da Begrenzung konkav):

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ...2} - 2d_{1}d_{2}/R \\ -2/R & 1 - 2d_{1} R \end{array} \right)$$ (10)

Die Transformation lautet also ausgeschrieben:

$$r_{2} = (1-2 \frac{d_{2}}{R}) r_{1} + (d_{1} +d_{2} - \frac{2d_{1} d_{2}}{R} ) r_{1}'$$ (11)

$$r_{2}' = -\frac{2}{R} r_{1} +(1-\frac{2d_{1}}{R} ) r_{1}'$$ (12)

Zur Berechnung des Brennpunkts nehmen wir Strahlen, die parallel zur optischen Achse laufen ($r_{1}'=0$) und berechnen die Strecke $d_{2}= f$, bei der diese Strahlen nach der Reflektion die optische Achse schneiden ($r_{2}=0$). Dieses ergibt:

$$1 - \frac{2f}{R} = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f = \frac{R}{2}.$$ (13)

Die Abbildungsgleichung erhält man ebenso einfach (siehe Skizze oben rechts). Falls $r_{2}$ das Bild von $r_{1}$ ist, so müssen sich alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen in $r_{2}$ schneiden, unabhängig von der Steigung $r_{1}'$. Daher muß der Koeffizient von $r_{1}'$ in der ersten der beiden Transformationsformeln verschwinden. In diesem Fall ist aber $d_{1}=g$ und $d_{2}=b$:

$$g + b - \frac{2 g b}{R} = 0 \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{g}+\frac{1}{b} = \frac{2}{R}$$ (14)

Aufgabe 2:
Ein Kugelsegment aus Glas sei auf der gekrümmten Fläche versilbert. Der Radius der Kugel ist $R=20 \; cm$ und das Glas habe den Brechungsindex $n = 1,5$. Die Dicke $d$ des Segmentes sei vernachlässigbar, d.h. $d \approx 0$.

a) Berechnen Sie die Brechkraft für paraxiale Lichtstrahlen, die durch die ebene Fläche in das Glas eintreten, an der gekrümmten Spiegelfläche reflektiert werden und wieder aus dem Glas austreten.
b) Ein Bild sei bei der Gegenstandsweite $g=50 \; cm$ senkrecht zur optischen Achse angeordnet. Wo liegt das Bild auf der optischen Achse ?
Beispiel 3:
Als drittes Beispiel diskutieren wir die Abbildung mit einer Linse. Die Transformationen sind in der folgenden Abbildung skizziert.

Zunächst eine Translation bis zur ersten brechenden Fläche, nach der Brechung eine zweite Translation durch die Linse, eine weitere Brechung an der zweiten Begrenzungsfläche der Linse, sowie schließlich eine Transformation zum Punkt $z_{2}$. Das Linsenmaterial habe den Brechungsindex $n$, die Umgebung sei Luft mit dem Brechungsindex $n_{Luft}=1$. Die Abstände seien $d_{1}$, $d_{2}$ sowie die Dicke der Linse $d$. Die Krümmungsradien seien $R_{1}$ und $R_{2}$. Man beachte aber, daß bei der linken konvexen Fläche $R_{1}$ positiv, bei der rechten konkaven Fläche $R_{2}$ negativ ist. Dann erhalten wir die Transformation

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ...) \left( \begin{array}{cc} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (15)

Wir wiederholen nochmal, daß wir die Vorzeichen von $R_{1}$ und $R_{2}$ bei der Aufstellung der Transformation bereits angbracht haben, in der weiteren Rechnung sind $R_{1}$ und $R_{2}$ also beide positiv. Die mittleren drei Matrizen beschreiben das Verhalten der Linse, die beiden äußeren Matrizen bilden die Translationen zur vorderen Linsenbegrenzung bzw von der hinteren Linsenbegrenzung zum Endpunkt $z_{2}$. Wir schreiben die Gesamtmatrix daher in der Form

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} ... ...left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ (16)

wobei $M_{L}$ also die Linsenmatrix ist. Mit der Abkürzung $D_{1} = (n-1)/R_{1}$ und $D_{2}= (n-1)/R_{2}$ ist die Linsenmatrix:

$$M_{L} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & n \end{ar... ... \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1}/n & 1/n \end{array} \right)$$ (17)

Hierfür ergibt sich nach kurzer Rechnung:

$$M_{L} = \left( \begin{array}{cc} 1 - D_{1} d/n & d/n \\ -D_{1} -D_{2} + D_{1} D_{2} d/n & 1 - D_{2} d/n \end{array} \right)$$ (18)

Wir setzen im folgenden die Elemente der Linsenmatrix gleich

$$M_{L} = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array} \right)$$ (19)

also ausgeschrieben:

$$M_{11} = 1 - D_{1} d/n$$ (20)

$$M_{12} = d/n$$ (21)

$$M_{21} = -D_{1} - D_{2} + D_{1} D_{2} d/n$$ (22)

$$M_{22} = 1 - D_{2} d/n$$ (23)

Wir müssen noch die Transformationen von den Begrenzungsflächen zu den Punkten $z_{1}$ und $z_{2}$ durchführen, d.h.

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (24)

Die Lösung ist einfach und ergibt

$$r_{2} = (M_{11}+M_{21} d_{2}) r_{1} + (M_{11} d_{1} + M_{12} +M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ) r_{1}'$$ (25)

$$r_{2}' = M_{21} r_{1} + (M_{21} d_{1} + M_{22}) r_{1}'$$ (26)

Im folgenden wollen wir noch zwei wichtige Folgerungen herausarbeiten. Falls die Strahlen parallel zur optischen Achse in die Linse eintreten, so werden sie nach Definition in den Brennpunkt abgebildet.

Für parallel einfallende Strahlen gilt aber $r_{1}'=0$. Außerdem muß $d_{2}= f$ sein, sofern wir $r_{2}=0$ setzen, d.h.

$$0 = (M_{11} + M_{21} f) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f = - \frac{M_{11}}{M_{21}}.$$ (27)

Für die Brechkraft gilt entsprechend ($D=1/f$):

$$D = -\frac{M_{21}}{M_{11}}.$$ (28)

Setzen wir die Ausdrücke der Matrizelemente ein, so folgt für die allgemeine Linse:

$$D_{L} = - \frac{-D_{1} - D_{2} + D_{1} D_{2} d/n}{1 - D_{1}d/n} = \frac{D_{1}}{1-D_{1}d/n} + D_{2}.$$ (29)

Auch die Abbildungsgleichung kann sehr einfach hergeleitet werden. Wir setzen $d_{1}=g$, $d_{2}=b$ und erhalten

$$r_{2} = (M_{11} + M_{21}b) r_{1} + (M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b) r_{1}'$$ (30)

Alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen müssen sich in $r_{2}$ schneiden, und zwar unabhängig von der Steigung $r_{1}'$. Daher muß der Koeffizient von $r_{1}'$ verschwinden:

$$M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b = 0$$ (31)

Approximation für dünne Linsen.
Wir wollen zum Schluß die Brechkraft und die Abbildungsgleichung für den Spezialfall der dünnen Linse noch einmal hinschreiben. Bei der dünnen Linse wird die Approximation $d \approx 0$ gemacht. Dann wird die Linsenmatrix extrem einfach,

$$M_{l} = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} &... ...n{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1} - D_{2} & 1 \end{array} \right).$$ (32)

Die Brechkraft errechnet sich zu

$$D_{l} = D_{1} + D_{2} = (n-1) \left(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1} {R_{2}} \right).$$ (33)

Für die Abbildungsgleichung erhalten wir:

$$g + (-D_{1}-D_{2}) g b + b = 0$$ (34)

Mit der Umformung $g+b = (D_{1} + D_{2}) gb$ folgt sofort:

$$\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = D_{1}+ D_{2} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$$ (35)

II Optische Instrumente

In der letzten Vorlesung wurden die Grundlagen der paraxialen Matrizen- Optik eingeführt. In dieser Stunde werden wir dieses Verfahren benutzen, um einfache optische Geräte zu studieren. Wir wiederholen kurz die wichtigsten Transformationen.
1) Ein Lichtstrahl mit Abstand $r_{1}$ und Winkel $r_{1}'$ zur optischen Achse wird von Punkt $z_{1}$ nach Punkt $z_{2}$ transformiert ( $d=\vert z_{2}-z_{1}\vert$):

$$T : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right).$$ (36)

2) Ein sphärischer Spiegel läßt den Abstand $r_{1}$ zur optischen Achse konstant ($r_{2}=r_{1}$) und ändert nur die Richtung $r_{1}'$ nach $r_{2}'$:

$$R : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ...t) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array}\right).$$ (37)

3) Eine spärische Begrenzungsfläche zwischen zwei Medien mit den Brechungsindizes $n_{1}$ und $n_{2}$ läßt den Abstand zur optischen Achse ebenfalls konstant, ändert aber die Richtung des Lichtstrahls. Der Strahl läuft von Medium 1 nach Medium 2:

$$B : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - P_{21} & n_{1}/n_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

$$P_{21} = \frac{1}{n_{2}} \; \frac{(n_{2}-n_{1})}{R}$$

Um die Brechkraft einer einzelnen Bregrenzungsfläche von der Brechkraft der Linse (siehe später) zu unterscheiden, führen wir ab jetzt die Bezeichnung $P$ ein. In der letzten Übung hatten wir hierfür ebenfalls das Symbol $D$ benutzt.
4) Mit Hilfe dieser drei Transformationen kann man die Transformations- Matrix einer Linse herleiten (siehe Beispiel 3). Für die dünne Linse (Dicke der Linse $d=0$) erhält man (siehe auch Vorlesung und Aufgabe 1 dieser Übung):

$$L : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{21} & n_{1}/n_{2} \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

$$D_{21} = \frac{1}{n_{2}} \left[ \frac{n-n_{1}}{R_{1}} - \frac{n-n_{2}}{R_{2}} \right]$$

Hierbei haben wir die allgemeinste Form angeschrieben. Die Linse begrenzt zwei Medien mit Brechungsindex $n_{1}$ und $n_{2}$, der Brechungsindex des Linsenmaterials selbst ist $n$. Die Krümmungsradien der Linsenflächen sind $R_{1}$ und $R_{2}$. Der Lichtstrahl läuft von Medium 1 durch die Linse in das Medium 2.

Vorzeichenkonvention für die Krümmungsradien
$R$ ist positiv, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konvex ist, $R$ ist negativ, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konkav ist.

• Diese Vorzeichenkonvention ist für die Brechung und für die Linsen identisch mit der in der Vorlesung gewählten Konvention, für die Reflektion dagegen gerade umgekehrt. In der Vorlesung wurde das Vorzeichen im Hinblick auf die Realität und Virtualität von Abbildungen gewählt. Hiernach muß man bei der Reflektion an konkaven Flächen ein positives Vorzeichen, bei der Reflektion an konvexen Flächen ein negatives Vorzeichen wählen. In der Matrizen- Optik dagegen kann es zu schlimmen Fehlern führen, wenn man verschiedene Vorzeichen für Reflektion und Brechung an ein und derselben Wölbung einführt, insbesondere dann, wenn man Spiegel und Linsen in ein- und derselben optischen Anordnung hat (z.B. bei Spiegellinsen). Wer die in der Vorlesung benutzte Vorzeichenkonvention vorzieht, muß in der Transformationsmatrix der Reflexion $2/R$ durch $-2/R$ ersetzen.
• In der technischen Literaur weicht die Bezeichnung für Linsen von dem hier gewählten Schema ab. Eine Bikonvex- Linse ist z.B. eine Linse mit einer konvexen und einer konkaven Begrenzungsfläche. Bei der Bezeichnung von Linsen ist nicht entscheidend, welche Wölbung der Lichtstrahl sieht, sondern welche Wölbung man jeweils von außen sieht. Im folgenden sind die technischen Bezeichnungen noch einmal aufgeführt.

Im übrigen ist es empfehlenswert, die Vorzeichen von $R$ bereits bei der Aufstellung der Transformationen einzusetzen, sodaß in den Rechnungen selbst $R$ stets positiv ist. Schließlich sollte noch erwähnt werden, daß die Transformationen der Brechung und Reflexion auch für den Grenzfall $R \to \infty$ gelten, d.h. auch für ebene Begrenzungsflächen gültig sind.
Durch Mehrfachanwendung kann man mit Hilfe dieser drei Transformationen den Strahlengang in beliebig komplizierten Systeme berechnen. In dieser Übung betrachten wir die wichtigsten, aus zwei dünnen Linsen bestehenden Systeme.

• Aufgabe 3:
  Zeigen Sie, daß die oben angegebene Transformationsmatrix für die dünne Linse aus der Transformationsmatrix der Brechung folgt.
• Aufgabe 4:
  Unter welche Bedingungen ist bei einer einzigen Linse der Strahlengang vertauschbar, d.h. wann ist es für die Abbildung egal, Vorder- und Rückseite der Linse zu vertauschen ?

Systeme aus zwei Linsen.
Wir betrachten ein System aus zwei dünnen Linsen, die sich auf der optischen Achse im Abstand $d$ befinden.

Hierbei kann es sich um belibig gewölbte Linsen handeln. Das umgebende Material sei ein Material mit Brechungsindex $n_{0}$ (d.h. $n_{1}=n_{2}=n_{0}$ in der Linsenmatrix), das Linsenmaterial sei immer Glas mit Brechungsindex $n$. Dann erhalten wir für die Brechkräfte der Linsen:

$$D = \frac{(n-n_{0})}{n_{0}} \left( \frac{1}{R_{a}}-\frac{1}{R_{b}} \right)$$ (38)

Beachten Sie hierbei aber sorgfältig die Vorzeichenkonvention für die Krümmungsradien. Diese sind in der nachfolgenden Skizze noch einmal für die verschiedenen Linsentypen angegeben, und zwar einmal für Lichtstrahlen in Richtung der optischen Achse (oben), zum anderen für Lichtstrahlen entgegengesetzt zur optischen Achse (unten).

Abbildung durch einen zweistufigen Prozeß.
In Lehrbüchern (siehe auch Vorlesung) wird die Abbildung durch ein System zweier Linsen gewöhnlich als zweistufiger Prozeß dargestellt. Dazu wird zunächst das von der ersten Linse entworfene Zwischenbild bestimmt. Dieses Zwischenbild wird dann mit der zweiten Linse zum Endbild abgebildet. Die folgende Skizze zeigt das Verfahren.

Offensichtlich gilt

$$\frac{1}{g} + \frac{1}{b'} = \frac{1}{f_{1}}$$

$$\frac{1}{d-b'} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f_{2}}$$

Elimination von $b'$ aus beiden Gleichungen führt dann zu der gesuchten Abbildungsgleichung zwischen $g$ und $b$. Ähnlich kann der Abbildungsmaßtab aus einem derartigen zweistufigen Prozeß berechnet werden. Bei Systemen mit mehr als zwei Linsen wird dieses Verfahren aber außerordentlich mühsam, wenn nicht sogar unlösbar. Systeme mit vielen Abbildungselementen werden in der Lasertechnik (z.B. optische Resonatoren) und in der Teilchenoptik (Elektronenmikroskope, Beschleuniger) benötigt. Im letzteren Fall handelt es sich natürlich nicht um optische, sondern um elektrische und magnetische Linsen. Derartige Systeme können nur mit den Methoden der Matrizen- Optik behandelt werden. Als Übung hierzu wollen wir auch das zweistufe Linsensystem mit der Matrizen- Optik behandeln.
Abbildung mit Hilfe der Matrizen-Optik.
Die Transformation eines Lichtstrahls vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{2}$ ist gegeben durch

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right) ... ...end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

$$= \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right) ... ...end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

Die Systemmatrix $M$ läßt sich leicht auswerten und ergibt:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & 1 \end{array}... ...D_{1} - D_{2} + d D_{1} D_{2} & 1 - dD_{2} \end{array} \right)$$ (39)

Die Elemente der Matrix $M$ sind also:

$$M_{11} = 1 - d D_{1}$$

$$M_{12} = d$$

$$M_{21} = -D_{1} -D_{2} +d D_{1} D_{2}$$

$$M_{22} = 1 - d D_{2}$$

• Aufgabe 5:
  Eine dünne, plankonkave Linse ($n=3/2$) ist in horizontaler Stellung so in Wasser ($n_{w}=4/3$) getaucht, daß der unter der sphärischen Fläche liegende Raum mit Luft ($n_{0}=1$) gefüllt ist. Die Gesamtbrechkraft des optischen Systems hat den Wert $D=-2,6 \; dpt.$ Bestimmen Sie den Krümmungsradius der Linse. Betrachten Sie hierbei das System
  a) einmal als zentriertes System zweier Linsen ($d=0$),
  b) zum anderen als Einzellinse aus drei brechenden Flächen.

Die gesamte Transformation läßt sich ausrechnen zu (siehe auch Beispiel 3):

$$r_{2} = [M_{11}+M_{21} d_{2}] r_{1} + [M_{11} d_{1} + M_{12} + M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ] r_{1}'$$

$$r_{2}' = M_{21} r_{1} + [M_{21} d_{1} + M_{22} ] r_{1}'$$

Zur Bestimmung der Abbildungsgleichung setzen wir $g=d_{1}$, $b=d_{2}$ und fordern, daß jeder von $r_{1}$ kommende Lichtstrahl in $r_{2}$ fokussiert wird, unabhängig von $r_{1}'$. Dann muß der Koeffizient vor $r_{1}'$ in der ersten der beiden Transformationsformeln verschwinden:

$$M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b = 0$$

Hieraus folgen die Abbildungsgleichungen

$$g = - \frac{M_{22} b + M_{12}}{M_{21}b + M_{11}} \; \; \; \;... ... \; \; \; \; b = - \frac{M_{11} g + M_{12}}{M_{21}g + M_{22}}$$

Den Abbildungsmaßstab erhält man hieraus zu ( $r_{1}=G, \; r_{2}= B, \; d_{2}=b$):

$$\frac{B}{G} = M_{11} + M_{21} b = M_{11} - M_{21} \frac{M_{1... ...21}M_{12}} {M_{21}g+M_{22}} = \frac{det(M)}{M_{21}g + M_{22}}.$$

Die Determinante dieser Systemmatrix ist aber gleich 1, was man durch Einsetzen der Matrixelemente prüfen kann. Durch Mischen der obigen Formeln kann man vier verschiedene Formeln für den Abbildungsmaßtab herleiten:

$$\frac{B}{G} = \frac{1}{M_{22}+M_{21}g} = M_{11} + M_{21} b = - \frac{b}{M_{12} + M_{11}g} = - \frac{M_{12}+M_{22}b}{g}.$$

Aus den ersten beiden Formeln erhalten wir noch die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung:

$$\left( b + \frac{M_{11}}{M_{21}} \right) \left( g + \frac{M_{22}}{M_{21}} \right) = \left( \frac{1}{M_{21}} \right)^{2}$$ (40)

Optische Systeme mit zwei Linsen (Mikroskop, Fernrohr, Projektor u.s.w) unterscheiden sich im wesentlichen durch die Brechkräfte $D_{1}=1/f_{1}$, $D_{2}=1/f_{2}$ und den Abstand $d=f_{1}+f_{2}+l$. Beim Mikroskop ist $l > f_{1}$ und $l > f_{2}$, beim Fernrohr $l<f_{1}$, $l<\vert f_{2}\vert$. Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir für die Systemmatrix:

$$M_{11} = 1-(f_{1}+f_{2}+l)\frac{1}{f_{1}} = -\frac{f_{2}+l}{f_{1}}$$

$$M_{12} = f_{1}+f_{2} + l$$

$$M_{21} = -\frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{2}} + (f_{1}+f_{2}+l) \frac{1}{f_{1}f_{2}} = \frac{l}{f_{1}f_{2}}$$

$$M_{22} = 1 - (f_{1}+f_{2}+l) \frac{1}{f_{2}} = - \frac{f_{1}+l}{f_{2}}$$

Die Newtonsche Abbildungsgleichung wird hiermit zu

$$\left[ g - \frac{f_{1}(f_{1}+l)}{l} \right] \left[ b - \fra... ..._{2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1}f_{2}} {l} \right)^{2}$$ (41)

und der Abbildungsmaßstab zu

$$\frac{B}{G} = \frac{f_{1} f_{2}}{l(g-f_{1}) - f_{1}^{2}} = \frac{l(b-f_{2}) - f_{2}^{2}}{f_{1}f_{2}}$$ (42)

In der obigen Abbildungsgleichung sind $g$ und $b$ grundsätzlich Gegenstands- und Bildweite von den Linsenbegrenzungen aus gemessen. In der älteren Literatur und für zeichnerische Zwecke werden häufig noch die Hauptebenen eingeführt (siehe Vorlesung). Hierbei wird dann $g$ und $b$ als Abstände von den Hauptebenen definiert. In der Matrizen-Optik ist die Definition der Hauptebenen jedoch im allgemeinen überflüssig.

• Aufgabe 6:
  Beweisen Sie die beiden letzten Formeln für die Abbildungsgleichung und den Abbildungsmaßstab.
• Aufgabe 7:
  Zwei Sammellinsen mit den Brennweiten $3\; cm$ und $4 \; cm$ sind auf einer optischen Bank im Abstand von $15 \; cm$ angebracht. Berechnen Sie, in welchem Abstand vor der ersten, als Objektiv wirkenden Linse man einen Gegenstand aufstellen muß, damit das System vom Gegenstand ein virtuelles Bild entwirft, daß sich in der deutlichen Sehweite befindet. Das Auge des Beobachters sei dicht an die zweite, als Okular wirkende Linse gerückt.

Lösungen zu den Übungen.
Aufgabe 1:
Transformationsgleichung:

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (43)

Lösung:

$$r_{2} = r_{1} +(d_{1}+d_{2}) r_{1}'$$ (44)

$$r_{2}' = r_{1}'$$ (45)

Aufgabe 2:
Die allgemeine Transformation besteht aus 7 Matrizen, von denen wir die Translation durch das Linsenmaterial aber sofort vernachlässigen können, da in diesen Schritten ($d=0$) die Translationsmatrizen zu Einheitsmatrizen werden. Es bleibt

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (46)

mit

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & n \end{array} \rig... ...left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2n/R & 1 \end{array} \right)$$ (47)

Die Transformationen lauten also:

$$r_{2} = (1-2 n d_{2}/R) r_{1} + (d_{1}+ d_{2} - 2n d_{1}d_{2}/R) r_{1}'$$ (48)

$$r_{2}' = -(2n/R) r_{1} + (1-2n d_{1}/R) r_{1}'$$ (49)

a) Achsenparallele Strahlen ($r_{1}'=0$) schneiden ($r_{2}=0$) die optische Achse bei $d_{2}= f$. Daher folgt aus der ersten Gleichung:

$$0 = (1 - 2n f/R) r_{1} \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \underline{D=\frac{1}{f} =\frac{2n}{R}}$$ (50)

b) Wenn $r_{2}$ das Bild von $r_{1}$ sein soll, so müssen alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen sich in $r_{2}$ schneiden, unabhängig von $r_{1}'$. Daher muß der Koeffizient von $r_{1}'$ in der ersten Transformationsgleichung verschwinden. Für $d_{1}=b$ und $d_{2}=g$ gilt also:

$$b + g - 2n b g/R = 0 \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{2n}{R} = D$$ (51)

Zahlenwerte: $\underline{b = 8 \; cm}$
Aufgabe 3:
Die Systemmatrix einer Einzellinse ist:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{2} & n/n_{2} \end{... ...begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{1} & n_{1}/n \end{array} \right)$$ (52)

wobei die Brechkräfte der Flächen durch

$$P_{1}=\frac{1}{n} \left( \frac{n-n_{1}}{R_{a}} \right), \; ... ... P_{2} = \frac{1}{n_{2}} \left( \frac{n_{2}-n}{R_{b}} \right)$$

gegeben sind. Der Lichtstrahl läuft vom Medium 1 durch die Linse in das Medium 2. Mit $d=0$ (dünne Linse) folgt:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(P_{2} +n P_{1}/n_{2}) & n_{1}/n_{2} \end{array} \right)$$ (53)

Daraus folgt:

$$D_{21} = P_{2} + \frac{n}{n_{2}} P_{1} = \frac{1}{n_{2}} \left[ \frac{n-n_{1}}{R_{a}} - \frac{n-n_{2}}{R_{b}} \right]$$ (54)

Aufgabe 4:
Antwort: $n_{1}=n_{2}=n_{0}$, denn dann gilt:

$$D_{21} = \frac{1}{n_{0}} \left[ \frac{n-n_{0}}{R_{a}} - \frac{n-n_{0}}{R_{b}} \right]$$

Falls der Lichtstrahl von der entgegengesetzten Seite kommt, ändert sich die Reihenfolge der Flächen und die Vorzeichen der Krümmungsradien. Daher

$$D_{12} = \frac{n-n_{0}}{n_{0}} \left[ \frac{1}{R_{b}'} - \f... ...{0}} \left[ \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right] = D_{21}$$ (55)

Aufgabe 5:
a) Wir betrachten das System als aus 2 Linsen zusammengesetzt, zunächst mit Abstand $d$.

Dann sind die Brechkräfte

$$D_{1} = - \frac{n-n_{w}}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert} \; \;... ...; \; D_{2} = \frac{n_{0}-n_{w}}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert}$$

Mit $d \to 0$ folgt:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1}-D_{2} & 1 \end{array} \right)$$ (56)

Daher

$$D = D_{1} + D_{2} = \frac{n_{0}-n}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert}$$

b) Der Strahlengang bei einem System dreier brechender Flächen ist im folgenden gezeigt:

Die Systemmatrix wird zu:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{3} & n_{0}/n_{w} \... ...\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{1} & n_{w}/n \end{array}\right)$$ (57)

Wegen

$$P_{1} = 0 \; \; \; \; \; \; \; P_{2}=\frac{n_{0}-n}{n_{0}} \frac{1}{\vert R\vert} \; \; \; \; \; \; \; P_{3} = 0$$

folgt

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -n_{0} P_{2}/n_{w} & 1 \end{array}\right)$$ (58)

Daher erhalten wir ebenfalls:

$$D = \frac{n_{0}}{n_{w}} P_{2} = \frac{n_{0}-n}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert}$$

Aufgabe 7:
In der folgenden Abbildung ist $f_{1}=3 \; cm$, $f_{2}=4 \; cm$, $d=15 \; cm$, $l=d-f_{1}-f_{2}=8 \; cm$ und $b=-25 \; cm$ (deutliche Sehweite):

Diese Werte setzen wir in die Abbildungsgleichung

$$\left[ g- \frac{f_{1}(f_{2}+l)}{l} \right] \left[ b - \frac{... ...f_{2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1}f_{2}}{l} \right)^{2}$$

ein und erhalten: $\underline{4,05 \; cm}$.