t₁ = s₁ n₁/c

und die Strecke s₂ in der Zeit

t₂ = s₂ n₂/c

zurücklegt, ist die Gesamtzeit

t = t₁ + t₂ = (s₁ n₁ + s₂ n₂)/c.

Man kann also auch sagen, dass das Licht den Weg mit der kürzesten optischen Weglänge

L_opt = s₁ n₁ + s₂ n₂

wählt. In unserem zweiten Applet können Sie diese kürzeste optische Weglänge suchen. Wiederum nimmt Ihnen das Applet die Sucherei ab, wenn Sie auf Search klicken. Unser virtuelles Experiment zeigt, dass bei der kleinsten optischen Weglänge gerade

n₁ sin() = n₂ sin()

gilt, wenn und die Einfalls- und Ausfallswinkel sind. Im Applet haben wir n₁ = 1 und n₂ = n gesetzt. Der Brechungsindex n kann verändert werden. Dieses ist aber nichts anderes als das Ihnen sicherlich bekannte Snell'sche Brechungsgesetz.

Aufgabe 2 Zeigen Sie mit einer analytischen Rechnung, dass bei der Brechung an einer ebenen Begrenzungsfläche zweier Medien mit Brechungsindex n₁ und n₂ der optische Weg zwischen zwei Punkten A und P minimal ist, wenn das Snell'sche Brechungsgesetz gilt.

Was wir im ersten und zweiten Applet benutzt haben, ist das Prinzip von Fermat:

Bei einer kontnuierlichen Veränderung des Brechungsindex kann die Summe als Integral geschrieben werden:

Bei einer Brechung an einer Begrenzung zwischen zwei Medien wird grundsätzlich auch ein Teil R der Intensität reflektiert. Aus den Fresnel'schen Formeln erhalten wir näherungsweise

ist wieder der Einfallswinkel, _G der Grenzwinkel. Wenn n₁ < n₂, dann ist _G = 90^o. Die Intensität des einfallenden Lichtstrahls ist in der Formel auf 1 normiert. Daher ist die Intensität des gebrochenen Strahls T = 1 - R. Bei kleinen Einfallswinkeln ist der Anteil der Reflektion im Bereich von einigen Prozenten, bei grossen Einfallswinkeln steigt er auf 100 Prozent an.
In unserem Applet können Sie wiederum den Einfallswinkel einstellen und die Intensität der reflektierten und gebrochenen Strahlen ablesen. Auch hier ist wieder n₁ = 1 und n₂ = n gesetzt. Man beobachtet weiterhin, dass nach der zweiten Brechung vom dichteren Medium zur Luft der Strahl wieder exakt parallel zum ursprünglichen Strahl ist, er ist lediglich versetzt. Bei dieser Brechung vom optisch dichteren Medium 2 zum dünneren Medium 1 kann eine weitere Komplikation auftreten, nämlich dass sin() = 1 und damit = 90^o wird. Dann gilt

sin(_G) = n₁/n₂

Dieser Winkel _G heisst Grenzwinkel. Für grössere Einfallswinkel gibt es keinen gebrochenen Strahl mehr, wir haben es mit Totalreflektion zu tun. Die folgende Abbildung zeigt den oben angegebenen Reflexionskoeffizienten R.

Der Brechnungsindex für Luft an der Erdoberfläche beträgt 1.0003, optische Gläser haben Werte zwischen 1.4 und 2, der Diamant hat mit 2.42 einen der grössten Brechungsindizes aller Materialien.

Aufgabe 3: Licht tritt aus der Luft in einen rechteckigen Block eines unbekannten Materials. Bei einem Einfallswinkel von < 56^o beobachtet man Totalreflektion des gebrochenen Strahls an der horizontalen Begrenzung (siehe Bild). Wie gross ist der Brechungsindex des Materials ?
(Dieses Applet kann Ihnen bei der Lösung helfen).

Aufgabe 4: Ein Lichtstrahl durchdringt nacheinander k vertikal angeordnete Glasplatten mit verschiedenen Brechungsindizes. Zeigen Sie rechnerisch, dass der letzte wieder in Luft austretende Strahl gegenüber dem einfallenden Strahl nur parallel verschoben ist. (siehe Applet Brechung1)











Will man die Richtung des Lichtstrahles ändern, muss man die Glasplatten horizontal anordnen. Im Applet Brechung2 haben wir 10 Platten mit linear kleiner werdenden Brechungsindizes von 1.5 bis 1.05 angeordnet. Die Schwärzung ist ein visuelles Maass für den Brechungsindex. ist hier nicht der Einfallswinkel, sondern der Ausfallswinkel bei Eintritt in die erste Glasschicht. Man beobachtet für einen Winkel von 40^o eine fast kreisförmige Bahn, bei 30^o tritt der Lichtstrahl fast parallel zur optischen Achse aus, bei 25^o wird der Strahl sogar an einer Schicht total reflektiert und ändert das Vorzeichen der Steigung. Die bei jeder Brechung auftretenden normal reflektierten Strahlen wurden vernachlässigt. In späteren Applets werden wir diese Anordung verfeinern und zu kontinuierlichen Veränderungen des Brechungsindex übergehen. Dabei werden wir einige interessante Entdeckungen machen.





Besonders wichtig in optischen Anwendungen ist das Prisma. Es besteht aus einem gleichschenkligen Dreieck, den oberen Dreieckswinkel nennt man den brechenden Winkel. Wir bezeichnen ihn mit . Das Licht wird zweimal gebrochen. Die Gesamtablenkung ist abhängig vom ersten Einfallswinkel ₁ und dem brechenden Winkel. Aus der Geometrie folgt

Für rechnerische Zwecke benötigt man weiterhin die Tatsache, dass

gilt. Bei symmetrischem Strahlengang, also ₁=₂ und ₂=₁, verläuft der Strahl parallel zur Grundfläche, die Gesamtablenkung erreicht dann ein Minimum. Mit dieser Einstellung wird häufig der Brechungsindex gemessen:

Den brechenden Winkel und den Einfallswinkel können Sie in unserem Applet verändern. Weiterhin ist rechts der Ausfallswinkel ₂ angegeben. Der Brechungsindex ist fest und beträgt n=1.8 (Flintglas).

Eine weitere wichtige Anwendung ist die Messung der Dispersion. Wir haben in allen bisherigen Applets monochromatisches Licht angenommen, d.h. unser Lichtstrahl besteht nur aus Licht einer einzigen Wellenlänge, z.B. rotes Licht. Normales Tageslicht oder das Licht bestimmter Lichtquellen besteht aber immer aus einer Mischung von mehreren Wellenlängen. Der Brechungsindex ist aber abhängig von der Wellenlänge. Diese Abhängigkeit nennt man Dispersion. Man bekommt dann eine Aufspaltung des gebrochenen Lichtes in die verschiedenen Farben, aus denen das einfallende Licht besteht. Im Applet haben wir den Button Dispersion on/off eingebaut, mit dem Sie die Dispersion ein- und ausschalten können. Wir haben eine Lichtquelle mit sämtlichen Farben des sichtbaren Spektrums angenommen. Der Brechungsindex variiert zwischen 1.75 und 1.85. In allen folgenden Applets werden wir diese Dispersion ignorieren und monchromatisches Licht verwenden.

Aufgabe 5: In der Literatur findet man häufig die einfache Formel =(n - 1) für die Gesamtablenkung des Prismas. Unter welchen Vorraussetzungen gilt diese Formel ?

In allen bisherigen Applets haben wir Reflektion und Brechung an ebenen Flächen betrachtet. Wir gehen jetzt über zu kugelflächigen Spiegeln und Brechungsebenen. Im Applet Kaustik1 haben wir einen kugelförmigen Hohlspiegel programmiert. Die Symmetrieachse des Spiegels nennt man die optische Achse. Wir betrachten parallel zur optischen Achse einlaufende Lichtstrahlen. Der Einfallswinkel ist jetzt der Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Normalen auf die Ebene, in diesem Fall der Radiusvektor der Kugel. Beim Spiegel ist der Ausfallswinkel gleich dem Einfallswinkel. Der reflektierte Strahl schneidet die optische Achse in einem Punkt P. Man beobachtet, dass dieser Schnittpunkt vom Abstand des einfallenden Strahls von der optischen Achse abhängt. Wenn man in den Rechnungen sin() = = tan() setzt, erhält man einen wohldefinierten Brennpunkt bei einem Abstand f = R/2 vom Spiegel. Diesen Punkt haben wir im Applet mit F bezeichnet. Diese Näherung gilt ersichtlich nur für achsennahe Strahlen, bei denen der Einfallswinkel klein ist. Der Abstand kann im Applet verändert werden. Mit dem Button Random kann man gleichzeitig 200 Strahlen mit zufälligen Abständen von der optischen Achse erzeugen. Das dabei entstehende merkwürdige Bild der reflektierten Strahlen nennt man auch die Kaustik.
Auch bei einer Brechung an einer Kugelfläche (Kaustik2) beobachtet man, dass der Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen mit der optischen Achse vom Abstand des einfallenden Strahls von der optischen Achse abhängt. Für achsennahe Strahlen ergibt hier die Rechnung einen definierten Brennpunkt im Abstand f=n₂R/(n₂-n₁) von der brechenden Kugelfläche. Auch hier sieht man, dass nur achsennahe Strahlen durch den Brennpunkt laufen.

In den beiden folgenden Applets Brennpunkt1 und Brennpunkt2 haben wir die Geometrie der Flächen geringfügig verändert. Aus dem Hohlspiegel wird ein parabolischer Spiegel und aus der brechenden Kugelfläche wird ein Ellipsoid. Hier beobachten wir jetzt, dass für alle parallel einlaufende Strahlen die reflektierten b.z.w. gebrochenen Strahlen die optische Achse in exakt dem gleichen Punkt schneiden. Bei der Ellipse ist dieses der rechte Brennpunkt der Ellipse. Solche Spiegel und Flächen sind natürlich technisch schwierig herzustellen. Daher verwendet man in der Praxis meistens kugelförmige Flächen und beschränkt sich auf achsennahe Strahlen. Das nennt man dann paraxiale Optik.



Aufgabe 6:Zeigen Sie mit Hilfe des Fermat'schen Prinzips, dass bei einem parabolischen Hohlspiegel für alle parallel einfallenden Strahlen die reflektierten Strahlen die optische Achse in ein und demselben Punkt schneiden. Denken Sie hierbei an die eigentliche Definition einer Parabel. Ausserdem müssen Sie annehmen, dass alle parallel einfallenden Strahlen von derselben Lichtquelle kommen und bis dahin gleiche optische Weglängen durchlaufen haben.

Linsen bestehen aus Glas, Kunststoff oder anderen durchsichtigen Materialien. Bei sphärischen Linsen sind die Begrenzungsflächen Teile von Kugelflächen. Lichtstrahlen, die durch die Linse hindurchtreten, werden zweimal gebrochen. Bei der Konstruktion von Strahlengängen fasst man beide Brechungen zu einer in der Hauptebene erfolgenden Brechung zusammen. Alle Abstände sind auf diese Hauptebene bezogen.
Konvexlinsen sind durch zwei Kugelflächen so begrenzt, dass sie in der Mitte dicker als am Rand sind. Parallel zur optischen Achse hindurchtretende Strahlen werden im Brennpunkt F gesammelt. Sein Abstand von der Hauptebene ist die Brennweite f. Daher nennt man sie auch Sammellinsen.
Konkavlinsen sind durch zwei Kugelflächen so begrenzt, dass sie in der Mitte dünner sind als am Rand. Parallel zur optischen Achse hindurchtretende Strahlen werden so gebrochen, als kämen sie von einem vor der Linse liegenden Brennpunkt F. Sein Abstand von der Hauptebene ist wiederum die Brennweite f, allerdings mit einem negativen Zahlenwert. Da diese Linse die Lichtstrahlen nicht sammelt, sondern zerstreut, nennt man sie auch Zerstreuungslinse.
Im Applet Brennpunkt3 haben wir den Strahlengang in einer Sammellinse programmiert. Da die Begrenzungsflächen kugelförmig sind, erwarten wir nur einen verschmierten Brennpunkt. Ähnlich wie beim kugelförmigen Hohlspiegel beobachtet man eine Kaustik- Figur. Daher werden in der sogenannten paraxialen Optik nur Lichtstrahlen betrachtet, die nahe an der optischen Achse liegen. Im Applet können Sie die Radien R₁ und R₂ der Kugelflächen, den Abstand D der Strahlen von der optischen Achse und den Brechungsindex des Glases ändern. Bei grossen Abständen kann sogar Totalreflexion an der hinteren Ebene auftreten. Die immer auftretenden Teilreflektionen an der vorderen und hinteren Begrenzung wurden vernachlässigt.
Die Anwendung von Linsen in optischen Instrumenten werden in einem anderen Tutorial behandelt. Zum Üben der Winkelakrobatik hier noch eine kleine Aufgabe:

Aufgabe 7: Ein Lichtstrahl dringt mit einem Einfallswinkel in einen kugelförmigen Wassertropfen. Wasser hat den Brechungsindex n = 1,33.
a) Wie gross ist der Einfallswinkel des Strahls auf der rückwärtigen Begrenzungsfläche ? Wird der Strahl total oder nur teilweise reflektiert ?
b) Der in a) reflektierte Strahl tritt an der Vorderseite des Wassertropfens wieder aus. Wie gross ist der Winkel zwischen dem einfallenden und dem austretenden Strahl als Funktion des Einfallswinkels ?
c) Unter welchem Winkel muss der Strahl in den Wassertropfen einfallen, damit der Winkel maximal wird ?

Wir knüpfen noch einmal an die Aufgabe 3 an. Dort hatten wir gesehen, dass man einen Lichtstrahl in einer Glasstange transportieren kann, wenn man das Licht unterhalb eines gewissen Maximalwinkels in den Stab einkoppelt. Zylindrische Glasstäbe mit Durchmessern von einigen Millimetern bezeichnet man auch als Glasfasern. Benutzt man Plexiglas als Material, so kann man diese Fasern auch biegen und somit das Licht über weite Strecken transportieren. Der Biegeradius ist natürlich eingeschränkt (siehe Aufgabe 8). Zum Schutz der eigentlichen Faser wird diese noch oft mit einem Mantel mit kleinerem Brechungsindex umgeben.

Aufgabe 8:Ein optisches Glasfaserkabel besteht aus einer dünnen zylindrischen Faser mit Radius r_f = 1 mm und dem Brechungsindex n_f = 1,66, die von einem dünnen äusseren Mantel mit Brechungsindex n_c = 1,52 umgeben ist. Das Kabel befindet sich in Luft mit dem Brechungsindex n₀ = 1. Wie gross ist der minimale Krümmungsradius, mit dem man das Kabel biegen darf, ohne dass nennenswerte Lichtverluste in der Faser auftreten ?




Bisher hatten wir nur Materialien betrachtet, in denen der Brechungsindex konstant ist. Im Applet Brechung2 hatten wir eine Anordnung mit 10 Glasplatten studiert, wobei der Brechungsindex jeder einzelnen Platte als Funktion des Abstandes von der optischen Achse linear abnahm. Wir gehen jetzt über zu Materialien mit einem kontinuierlich veränderten Brechungsindex. Technisch hergestellt werden diese Gläser durch unterschiedliche Dotierung mit Fremdatomen. Der Brechungsindex sei nur vom Abstand von der optischen Achse abhängig, diesen Abstand bezeichnen wir im folgenden mit r, die Achse mit z. Wie wir in Aufgabe 9 zeigen werden, folgt der Lichtstrahl in solchen Materialen einer geometrischen Bahn, die durch die Differentialgleichung

beschrieben wird.

Aufgabe 9: In einem Glasfaserkabel ist der Brechungsindex n(r) stetig vom Abstand r von der optischen Achse abhängig. Die Ableitung dn/dr existiert für alle r < R mit dem Radius R der Faser. Zeigen Sie die Gültigkeit der oben angegebenen allgemeinen Differentialgleichung für die Bahn r(z) des Lichtstrahls.
Anleitung: Wenden Sie das Brechungsgestz auf eine Grenzfläche an, bei der sich der Brechungsindex von n(r) auf n(r+dr) ändert. Dabei ändert sich die Richtung des Lichtstrahls gegenüber der optischen Achse von nach +d. Für diesen Winkel gilt sin(d)=d, cos(d)=1 und =tan()=dr/dz. Vernachlässigen Sie infinitesimale Grössen zweiter Ordnung, diese verschwinden sowieso beim Grenzübergang dr -> 0.

Wir bauen jetzt ein Glasfaserkabel, bei dem der Brechungsindex quadratisch in r abnimmt:

Mit der Annahme, dass r sehr viel kleiner als a ist, erhalten wir die einfache Differentialgleichung

Dieses ist aber nichts anderes als die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung. Die Lösung ist

Bei rechnerischen Anwendungen kann man also davon ausgehen, dass n₀ zwischen 1.5 und 1.8 liegt, die gesamte Änderung des Brechungsindex von der optischen Achse bis zum Rand aber nur in der Grössenordnung einiger Prozente ist.
Das Licht wird also im Abstand r(0) von der optischen Achse mit der Steigung r'(0) in das Kabel eingekoppelt und schwingt dann im Kabel um die optische Achse herum. Der grosse Vorteil dieser Kabel ist natürlich, dass das Licht keinen Kontakt mehr mit den Begrenzungsflächen hat und daher die Verluste extrem klein gehalten werden. Dieses Kabel zeigen wir im Applet Glasfaser2. Sie können den Parameter a, den Einfallswinkel und den Startwert r(0) ändern. Das Programm berechnet mit Hilfe des Brechungsgesetzes den Startwert für r'(0). Der Schwärzungsgrad gibt die Grösse des Brechungsindex an. Man sieht also, dass der Lichtstrahl dem Gradienten des Brechungsindex folgt.

Im folgenden Applet machen wir jetzt das Glasfaserkabel extrem kurz, einige Millimeter, und strahlen parallel zur optischen Achse Licht ein. Das Licht wird zur optischen Achse hin abgelenkt, trifft auf die hintere Begrenzungsfläche, wird noch einmal gebrochen und tritt dann in die Luft aus. Im Applet können Sie beobachten, dass diese Anordung ein System mit einem Brennpunkt ist. Wir haben also eine Linse konstruiert. Rechnerisch ist die Brennweite durch (siehe Aufgabe 10)

gegeben. D ist die Dicke der Linse. Für grosse Werte für r(0) beobachtet man wieder eine Kaustik- Figur.

Aufgabe 10: Berechnen Sie die Brennweite der planaren Linse des Applets Glasfaser3. Bedenken Sie, dass man für kleine Werte von z/a die Cosinus- und Sinusfunktion in Reihen entwickeln kann und berücksichtigen Sie die zusätzliche Brechung an der Rückseite der Linse.

Aufgabe 11: Eine kreisförmige ebene Glasplatte mit der Dicke D soll als Linse mit einer Brennweite f benutzt werden. r sei der Abstand von der Achse der Scheibe. Bestimmen Sie mit Hilfe des Fermatschen Prinzips die hierfür notwendige r- Abhängigkeit des Brechungsindex. Vergleichen Sie Ihre Lösung mit dem Ergebnis von Aufgabe 10.

Die Lufthülle der Erde hat mit wachsender Höhe einen exponentiell abfallenden Brechungsindex:

R = 6400 km ist der Erdradius, r der Abstand vom Erdmittelpunkt und a = 8,7 km die Höhe über Erdoberfläche, bei der q = 0,0003 auf den e-ten Teil abgefallen ist. Der Brechungsindex von Luft ist auf der Erdoberfläche also 1,0003. n(r)-1 ist inbesondere der Dichte der Luft proportional. Licht läuft in der Erdathmosphäre also auf gekrümmten Bahnen, wird insbesondere von der Erdoberfläche angezogen. Diese Beobachtung machen Sie im Prinzip jeden Tag. Sie können die Sonne noch sehen, auch wenn sie schon längst hinter dem Horizont verschwunden ist. Da wir die oben angegebene Differentialgleichung für diesen Brechungsindex nicht analytisch lösen können, benutzen wir im Applet ein numerisches Integrationsverfahren. Dadurch verlangsamt sich die Berechnung der Lichtbahn natürlich erheblich. Wir stellen dann im Applet die Frage, ob wir den Lichtstrahl auf einer Kreisbahn um die Erde lenken können. Mit einem Wert von q = 0,0003 ist dieses sicher nicht möglich. Auf einer Distanz von 1000 km sieht man kaum eine Ablenkung des Lichtstrahls. Erhöht man allerdings den Wert von q auf etwa 0,00135, so läuft das Licht auf einer exakten Kreisbahn um die Erde. Man müsste die Dichte der Luft also etwa auf das 4,5- fache vergrössern.

Aufgabe 12: Zeigen Sie mit Hilfe des Fermatschen Prinzips, dass das Licht auf der Erdoberfläche auf einer Kreisbahn laufen würde wenn man die Dichte der Luft auf das 4,5- fache vergrössern könnte.


(Das Password ist der Name eines Mathematikers, der in diesem Tutorial mehrmals genannt wurde.)

Literatur:
Hecht/Zajac, Optics, Addison Wesley Publishing Company, 1982
James C. Daly, Fiber Optics, CRC Press, 1986


Damit beschliessen wir unser Tutorial über das Fermat'sche Prinzip und seine Anwendung auf Reflexion und Brechung. Ich hoffe, es hat Ihnen Spass gemacht. Vielleicht haben Sie auch Einiges gelernt. Falls Sie Fehler finden oder Verbesserungsvorschläge haben, schreiben Sie an

<Harm.Fesefeldt@harfesoft.de>


Das gesamte Tutorial einschliesslich aller Java Class Files und der Source Codes können Sie auch als Zip- File herunterladen. Ich bitte allerdings darum, die Creative Commons- Lizenz zu beachten.