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Wahrscheinlichkeitsalgebra
Nachdem wir jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet haben,
können wir versuchen, die Ereignisalgebra des vorherigen Abschnitts auf eine
Wahrscheinlichkeitsalgebra zu übertragen. Ein derartiges Beispiel ist
schon in Axiom 4 aufgetreten. Wir weisen noch einmal darauf hin, daß wir
hierbei in einer Gleichung verschiedene Verknüpfungen mit demselben
Symbol ,,+'' bezeichnet haben. In der Verknüpfung handelt
es sich um das OR der binären logischen Algebra, aud der rechten Seite
der Gleichung bedeutet das ,,+'' Zeichen die normale Addition der
arithmetischen Algebra. Dieser Umstand muß im folgenden immer beachtet
werden.
Die im vorangehenden verwendete Definition der Wahrscheinlichkeit ist im strengen Sinne nur für endliche Ereignisräume gültig. Man kann aber auch in abzählbaren und überabzählbaren Ereignisräumen eine Wahrscheinlichkeit definieren, sodaß unsere Axiome gültig bleiben. Dieses ist ein Problem der Maßtheorie, daß wir hier nicht weiter verfolgen können.
Elementarereignisse sind definitionsgemäß unvereinbar, daher gilt für
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Wir hatten im vorherigen Kapitel alle möglichen verschiedenen, disjunktiv verknüpften, logischen Funktionen zwischen zwei beliebigen Ereignissen hergeleitet. In der folgenden Tabelle 1 geben wir die zugehörigen Formeln für die Wahrscheinlichkeiten an, und zwar ausgedrückt durch , und . Es sollte dem aufmerksamen Leser keine Schwierigkeiten bereiten, diese Formeln nachzurechnen.
Beispiel
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht man immer davon aus, daß gewisse
Grundwahrscheinlichkeiten, im allgemeinen die Wahrscheinlichkeiten für
die Elementarereignisse, vorgegeben sind. Dieses nennt man die
Wahrscheinlichkeits- Verteilung. Aufgabe der Statistik ist dann die
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von beliebigen Ereignissen. Wir
diskutieren noch einmal das Würfelspiel. Da keine Augenzahl gegenüber
einer anderen bevorzugt ist, müssen die 6 Elementarereignisse
als gleich wahrscheinlich angenommen
werden, d.h.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wir führen wiederum einen Versuch V aus und betrachten 2 Ereignisse
und , die nicht unvereinbar sein sollten, d.h.
.
Die relativen Häufigkeiten seien und . Ferner sei
die Häufigkeit des Ereignisses bei
n Versuchen. Interessiert man sich jetzt nicht für alle n Versuche, sondern
nur für diejenigen Versuche, bei denen das Ereignis eingetreten ist,
dann kann man nach der Häufigkeit des Ereignisses fragen, aber nur
für diejenigen Ereignisse, bei denen das Ereignis eingetreten ist.
Dieses nennt man eine bedingte Häufigkeit, die offenbar durch
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Beispiel
Als Beispiel betrachten wir noch einmal das Würfelspiel mit den Ereignissen
Unabhängigkeit von Ereignissen
Im allgemeinen ist von verschieden. Ist aber
, so gilt
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Beispiel
In einem von außen nicht einsehbaren Behälter befinden sich 20 Lose
für eine Verlosung. Die Lose sind aufgeteilt in Nieten und Gewinne,
z.B. 2 Gewinne auf 8 Nieten. Die Lose sind in 2 verschiedenen Farben
gefärbt, z.B. rot und blau. Für jede Farbe ist die gleiche Anzahl von
Nieten und Gewinnen vorhanden, sodaß sich insgesamt 4 Gewinne und 16
Nieten in dem Behälter befinden. In diesem Beispiel hat offenbar das
Ziehen eines Gewinnes nichts mit dem Ziehen einer bestimmten Farbe zu tun.
Das Ereignis ,,Ziehen eines Gewinnes'' und das Ereignis ,,Ziehen der Farbe
Rot'' sind unabhängig voneinander, aber nicht unvereinbar, denn es befinden
sich ja 2 Gewinne mit der Farbe Rot im Behälter. Offenbar ist die
Unabhängigkeit in diesem Beispiel nur beim ersten Zug gewährleistet,
d.h. solange noch alle Lose im Behälter sind. Beim zweiten Zug ist von einer
Farbe ein Los weniger im Behälter. Falls dieses bereits gezogene Los ein
Gewinn mit der Farbe Blau war, erhöht sich damit die Gewinnchance beim
zweiten Zug, wenn man ein rotes Los zieht. Ziehen der Farbe Rot und Ziehen
eines Gewinnes sind nicht mehr unabhängig voneinander. Beim ersten Zug
hätten wir folgende mögliche Ereignisse:
Beispiel
Ein zweites Beispiel ist für die folgenden Betrachtungen wichtig. Gegeben sei
ein Versuch V. Dieser kann als Ergebnis ein zufälliges Ereignis
liefern. Wir führen den Versuch zweimal aus. Bei der ersten Ausführung
ist das Versuchsergebnis entweder oder
.
Bei der zweiten Ausführung ist wiederum das Ergebnis entweder
oder
. Die Ereignisse und
sind voneinander unabhängig. Bei der zweiten Ausführung des Versuches
kommt es nicht darauf an, welchen Ausgang der erste Versuch hatte, d.h.
Übungen:
Aufgabe 1:
Beim Kartenspiel 'Skat' werden an 3 Mitspieler je 10 Karten verteilt.
2 Karten werden in den sogenannten 'Topf' gelegt. Das Spiel besteht also
insgesamt aus 32 Karten.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein bestimmter
Mitspieler alle vier Buben erhält?
b) Einer der Mitspieler möge bereits 2 Buben haben und hat sich entschlosssen,
einen Grand zu spielen. Er darf die 2 Karten
aus dem Topf aufnehmen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
daß mindestens ein weiterer Bube im Topf liegt?
Aufgabe 2:
Beweisen Sie die Formel
Aufgabe 3:
In einer Telefonzentrale erfolgen im Zeitintervall Anrufe mit einer
Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 4: Ein Würfelspiel bestehe aus dem gleichzeitigen Werfen dreier
gleicher Würfel.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Würfel bei einem Wurf
die gleiche Augenzahl zeigen ?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer ''Strasse'', d.h.
dass auf den Würfeln aufeinanderfolgende Zahlen erscheinen, z.B 2 3 4 oder 1 2 3 u.a. ?
Aufgabe 5: Das Würfelspiel der vorherigen Aufgabe ist im folgenden
Applet
dahingehend erweitert worden,
dass jeder Spieler bis zu dreimal würfeln darf. Sobald ein Würfel die Augenzahl 1 zeigt,
darf dieser Würfel beiseite gelegt werden. Ziel des Spieles ist es,
möglichst viele Einsen zu würfeln.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, in den drei Würfelrunden eine Eins, zwei Einsen oder drei Einsen
zu würfeln ?
b) Wie viele Würfelrunden müsste man in diesem Spiel durchführen, um mit 95 Wahrscheinlichkeit
3 Einsen zu erhalten ?